T-S fuzzy control strategy for the 3-RSR wave compensation platform

doi:10.11918/202501010

3-RSR波浪补偿平台T-S模糊控制策略

doi: 10.11918/202501010

王妙辉¹ ，谢文博² ，齐俊桐¹ ，吴翔² ，彭艳¹

1. 上海大学人工智能研究院，上海 200444

2. 上海大学机电工程与自动化学院，上海 200444

基金项目: 国家自然科学基金（62373237）；国家自然科学杰出青年基金（62225308）

详细信息

作者简介

王妙辉（2000—），男，硕士研究生；

谢文博（1985—），男，研究员，博士生导师；

齐俊桐（1981—），男，教授，博士生导师；

彭艳（1982—），女，教授，博士生导师

通讯作者

谢文博，xiewenbo@shu.edu.cn

中图分类号: TP273

文献标识码: A

文章编号: 0367-6234(2026)04-0058-11

T-S fuzzy control strategy for the 3-RSR wave compensation platform

WANG Miaohui¹ ， XIE Wenbo² ， QI Juntong¹ ， WU Xiang² ， PENG Yan¹

1. Institute of Artificial Intelligence, Shanghai University, Shanghai 200444 , China

2. School of Mechatronic Engineering and Automation, Shanghai University, Shanghai 200444 , China

摘要

为提高并联机器人波浪补偿控制的抗干扰能力与控制精度，针对复杂海洋环境下现有方法鲁棒性不足的问题，以3-RSR并联机器人为对象，提出新型TNL函数观测器和T-S模糊控制策略。首先，基于机构运动特性构建了包含支链约束的运动学模型，推导关节空间与操作空间的雅可比矩阵；通过虚功原理和牛顿-欧拉法建立非线性动力学模型，阐明惯性力、科氏力与重力的耦合机制。其次，针对系统的高度非线性特性，采用T-S模糊模型对动力学方程进行精确逼近，实现基于隶属度函数的局部线性化建模。创新性设计了TNL函数观测器，结合Lyapunov稳定性理论构建LMI表征的鲁棒稳定性条件，解决系统状态不可测问题。最后，通过协同设计观测器与模糊控制器，构建抗扰闭环系统，利用凸优化求解满足H_∞性能指标的控制器参数，保障扰动下的动态稳定性。仿真结果表明，TNL函数观测器较传统类型具有更优性能指标。该架构能有效解决非线性状态估计与鲁棒控制难题，为海洋工程装备波浪补偿提供了创新方案，对提升舰船转载、海上救援等作业性能具有重要实践价值。

关键词

3-RSR并联平台 / 波浪补偿 / T-S模糊系统 / TNL函数观测器 / 鲁棒控制 / 凸优化 / 线性矩阵不等式

Abstract

To improve the anti-interference ability and control accuracy of wave compensation control for parallel robots, and to address the problem of insufficient robustness of existing methods in complex marine environments, this study proposes a novel TNL function observer and a T-S fuzzy control strategy for a 3-RSR parallel robot. Firstly, a kinematic model incorporating limb constraints is constructed based on the kinematic characteristics of the mechanism, and the Jacobi matrices between the joint and operational spaces are deduced; a nonlinear dynamics model is established through the principle of virtual work and the Newton-Euler method to elucidate the coupling mechanism of inertial, Coriolis, and gravitational forces. Secondly, to address the highly nonlinear characteristics of the system, the T-S fuzzy model is adopted to accurately approximate the dynamical equations, thereby realizing local linearization modeling based on membership functions. The TNL function observer is innovatively designed, and the robust stability condition characterized by LMIs is constructed by combining the Lyapunov stability theory to solve the problem of unmeasurable system states. Finally, through a co-design of the observer and fuzzy controller, an anti-disturbance closed-loop system is constructed, and convex optimization is used to solve controller parameters that satisfy the H_∞ performance index, thereby guaranteeing dynamic stability under disturbances. Simulations show that the TNL function observer has better performance than the conventional types. The proposed architecture can effectively address the challenges of nonlinear state estimation and robust control, providing an innovative solution for wave compensation in marine engineering equipment, which is of great practical value for enhancing the performance of operations such as ship-to-ship transfer and maritime rescue.

Keywords

3-RSR parallel platform / wave compensation / T-S fuzzy system / TNL function observer / robust control / convex optimization / linear matrix inequality

1 3-RSR系统运动学和动力学 1.1 系统坐标系 1.2 逆运动学分析 1.3 正运动学分析 1.4 雅可比矩阵计算 1.5 动力学分析 2 T-S模糊模型 3 主要内容 3.1 观测器设计 3.2 稳定性分析 3.3 基于观测器的控制器设计 4 仿真试验 5 结论

船舶在海洋环境中时刻受到风、浪、流等外部干扰的影响^[1]。尽管动力定位（dynamic positioning，DP）系统能够在一定程度上控制船舶低频状态，但其仍难以抑制高频运动，这不仅降低了人员与货物转移的效率，还带来了严重的安全隐患。为确保海上作业的安全性和效率，开发可靠的海上转运系统至关重要。目前，小船、直升机和吊篮等传统转运方式在安全性和效率方面均存在一定局限性。相比之下，安装在动力定位船上的海上廊桥成为一种更为理想的选择。动力定位系统能够补偿船舶的低频运动（如涌浪、摇摆和偏航），而廊桥的控制系统则能够进一步抑制高频运动干扰，从而保障设备和人员的安全^[2]。

海上廊桥主要分为两类：固定基座式海上廊桥和基于混合机构的海上廊桥。固定基座式海上廊桥的基座直接固定在船舶上，仅依靠三自由度串联舷梯进行运动补偿。其结构简单，但运动范围有限；基于混合机构的海上廊桥则由多自由度并联机构和三自由度串联舷梯组成，虽然结构稍显复杂，但具有更高的补偿精度。然而，这些系统普遍具有复杂的非线性动力学特性，且工作环境中存在波浪干扰和时变负载等不确定性因素。为应对这些挑战，研究人员提出了多种控制策略。对于固定基座式设计，通常采用串联机械臂控制方案，通过动力学方程设计末端执行器控制策略，以补偿偏航、滚转、俯仰和摆动等方向的运动^[3]。在多自由度并联机构的研究中，Stewart平台是最典型的代表，相关研究主要集中在关节空间控制策略上。例如，Chen等^[4]提出了一种基于ADRC的三环控制策略，显著提升了系统的稳定性和干扰抑制能力。在任务空间控制策略研究中，Cai等^[5]提出了一种自适应鲁棒双环控制方案，在船载Stewart平台的波浪补偿控制中表现出优异的性能。然而，固定基座式海上廊桥由于结构限制，无法完全补偿舷梯平台的六自由度运动；而基于混合机构的海上廊桥虽然具有更高的补偿能力，但其高复杂性、强非线性和显著耦合性使得系统对外部干扰和参数变化极为敏感。现有方法在处理高频运动干扰和复杂非线性动力学特性时仍存在显著不足。尤其是基于混合机构的廊桥系统，其高复杂性和强耦合性导致对外部干扰和参数变化极为敏感。现有控制策略在鲁棒性和精度上的局限性，严重制约了海上作业的安全性和效率。

近年来，T-S模糊系统在工业控制领域得到了广泛关注。这类系统通过隶属度函数（membership functions，MFs）将非线性系统近似表示为多个线性模型的模糊集合^[6]，从而能够灵活地将线性系统控制理论应用于非线性系统的控制中^[7-8]。在3-RSR并联机构的控制中，由于传感器测量的局限性，系统状态量中不可避免地存在不可测量部分。然而，要实现波浪补偿平台的高精度控制，准确的状态估计至关重要。模糊观测器的设计主要围绕两个关键问题展开：观测器结构和不可测前件变量（unmeasurable premise variables，UPVs）。经典的全阶Luenberger观测器是设计的基础，但为了提高观测器性能并降低保守性，近期研究提出了在离散时间间隔内估计不可测状态的分段全阶观测器^[9]。针对多样化和复杂的模糊系统，研究人员已提出了多种观测方法。例如，Guerra等^[10]则针对T-S模糊系统设计了全阶观测器。Liu等^[11]指出函数观测器可以直接估计系统状态，从而为精确的反馈控制提供支持。Wang等^[12]则提出函数观测器可以估计系统状态的线性变换，从而支持滑模控制。然而，Islam等^[13]指出，函数观测器增益矩阵的最优解涉及严格的秩条件，这增加了计算复杂性。

近年来，Wang等^[14-15]提出了一类用于处理子系统的广义Luenberger观测器，并将其进一步发展为TNL观测器结构。这种结构通过引入更多的设计自由度，显著提高了控制精度。其中，T、N、L分别表示相应的设计参数矩阵。当T和N矩阵确定后，观测器将退化为具有L增益矩阵的传统Luenberger类型。Wang等^[16-17]还指出，参数矩阵T和N只需满足相对简化的秩条件，从而能够高效、便捷地求解。与函数观测器的严格秩条件相比，TNL观测器的条件更易于处理。尽管已有研究在观测器设计上取得进展，但严格的秩条件限制和不可测前件变量（UPVs）的保守性处理，仍是制约3-RSR并联机构控制性能的关键因素。

在模糊观测器设计中，处理不可测前件变量（UPVs）是一个关键问题。Pan等^[18]指出，隶属度函数通常依赖于估计的前件变量。Hassani等^[19]详细分析了区间型T-S模糊系统的故障检测问题，并基于UPVs的Lipschitz条件提出了解决方案。Zhou等^[20]则设计了一种有限频率故障检测TNL观测器。Bezzaoucha等^[21]提出了一种函数观测器，将UPVs相关因素转化为扰动，从而确保了系统的鲁棒性能。

处理不可测前件变量（UPVs）是观测器设计中的主要挑战之一，传统方法往往难以应对。为了减少稳定性分析中的保守性，研究人员提出了一些创新方法。例如，Guerra等^[22]应用差分均值定理（differential mean value theorem，DMVT），将UPVs重新解释为估计误差，从而提高了估计精度。Xie等^[23]则引入了一种解耦技术，将UPVs视为独立的模糊系统，进一步完善了分析和设计方法。上述研究在观测器-控制器设计方面取得了显著进展，为3-RSR并联机构的T-S模糊系统设计提供了重要参考。然而，由于观测器结构和不可测前件变量（UPVs）的影响，现有方法仍存在一定的保守性，导致控制性能和鲁棒性不足。亟待解决海上廊桥系统对控制精度和鲁棒性的高要求问题。

针对上述挑战，本文提出了一种基于TNL型函数观测器的鲁棒控制框架，通过结合秩约束和UPVs解耦技术，实现了3-RSR并联机构的高精度干扰抑制控制。

1 3-RSR系统运动学和动力学

1.1 系统坐标系

3-RSR并联平台的关节示意图见图1。铰点B_i和P_i（i=1，2，3）均为转动副（R）。图中：B_i为驱动电机轴与驱动连杆B_iM_i的交点，该点位于基平面{B}上；P_i为从动连杆P_iM_i与动平面{P}的交点，位于动平面{P}上。点M_i为球面副（S）转动中心，作为铰接点连接B_iM_i和P_iM_i。3组RSR支链B_iM_iP_i将动平面{P}与基平面{B}连接，每组由安装在基平面{B}上的永磁同步电机驱动。通过旋转驱动连杆B_iM_i与基平面{B}之间的角度θ_i（i=1，2，3），实现动平面{P}相对于基平面{B}的运动，其中θ_i∈（0°，90°）。

图13-RSR并联平台关节原理图

Fig.1Schematic diagram of 3-RSR parallel platform joint

为了便于正逆运动学的计算，所设计的3-RSR并联机构结构具有以下特点：

1）铰点B_i所组成的三角形△B₁B₂B₃以及铰点P_i所组成的三角形△P₁P₂P₃均为等边三角形，其中B_iB_j=P_iP_j，i≠j。

2）驱动连杆与从动连杆的长度相等，即B_iM_i=P_iM_i=l，i=1，2，3。

基于上述两个特点，结合图1的几何关系可知，基平面{B}与动平面{P}关于中间平面{M}对称，{M}并非实际存在的平面，而是由M_i点构成的虚拟平面。

对3-RSR并联平台进行运动学分析，将各铰接点简化为质点，建立以下对应的坐标系。

1）基坐标系B-x_By_Bz_B。坐标系的原点B与三角形△B₁B₂B₃的几何中心重合。x轴指向B₁，z轴是{B}的法向量，y轴由右手法则确定。

2）中间坐标系M-x_My_Mz_M。坐标系的原点为M即{B}的法向量与{M}的交点。x轴指向M₁，z轴是{M}的法向量，y轴由右手法则确定。

3）动坐标系P-x_Py_Pz_P。坐标系的原点P与三角形△P₁P₂P₃的几何中心重合。x轴指向P₁，z轴是{P}的法向量，y轴由右手法则确定。

4）世界坐标系W-x_Wy_Wz_W。该坐标系固定于地球，始终保持静止状态。

1.2 逆运动学分析

3-RSR并联机构的逆运动学问题可描述为：根据动平面{P}的位置q_x=[x_P y_P z_P]^T和姿态q_b=[α β γ]^T，确定驱动关节的转角θ_i。{P}的位置和姿态可表示为向量[x_P y_P z_P α β γ]^T。

然而，由于3-RSR机构的结构特点，{P}的位姿向量中的6个元素并非完全独立。位置变量q_x是独立的，而姿态变量q_b可通过q_x解出。为实现解耦，引入中间变量d替代位置向量q_x，其中d为点B与M之间的距离。通过已知参数α、β和d，3-RSR并联机构的逆运动学解可以表达为驱动角θ₁、θ₂和θ₃的函数。

根据结构特性，中间平面{M}和基平面{B}之间在γ方向上无相对旋转。由于{B}和{P}关于{M}对称，因此

γ = \dot{γ} = 0

。因此，在后续分析中，将不再考虑γ自由度上的运动。

为清晰描述3-RSR系统的运动学特性，定义以下向量：q=[x_P y_P z_P α β ]^T为 {P}的姿态，q_e=[α β d]^T为{P}的等效位姿，q_x=[x_P y_P z_P]^T为{P}的位置，q_a=[α β]^T为{P}的姿态，ω_p=[ω_α ω_β ω_γ]^T为{P}相对于坐标系B-x_By_Bz_B的角速度向量，θ=[θ₁ θ₂ θ₃]^T为驱动角，τ=[τ₁ τ₂ τ₃]^T为驱动力矩。

由于α，β已知，从{P}到{B}的旋转矩阵为

{P} ∣ R = R (y, β) R (x, α)

(1)

由于{P}和{B}关于{M}对称，从{M}到{B}的旋转矩阵为

{B} |R = R (y, \frac{β}{2}) R (x, \frac{α}{2})

(2)

从{P}到{M}的旋转矩阵为

_{{M}}^{{P}} R =_{{B}}^{{M}} R

，因此可以确定{M}的法向量，即

z_{M} = {β} R \cdot z_{B}

(3)

由图1可知，向量MM_i与z_M正交，即

(M_{i} - d z_{B}) z_{M} = 0, i = 1,2, 3

(4)

通过求解式（4）可以得到驱动角θ的表达式为

\begin{matrix} c o s \frac{α}{2} s i n \frac{β}{2} c o s φ_{i} (R + l c o s θ_{i}) - s i n \frac{α}{2} s i n φ_{i} (R + \\ l c o s θ_{i}) - c o s \frac{α}{2} c o s \frac{β}{2} (d - l s i n θ_{i}) = 0 \end{matrix}

(5)

式中：

φ_{i} = \frac{2}{3} π （ i - 1 ）

，i=1，2，3为BB_i与基平面坐标系x轴正方向x_B的夹角; B_i均匀的分布在以B为圆心，以R为半径的圆上。

1.3 正运动学分析

正向运动学问题可描述为：根据驱动角θ，其目标是确定动平面{P}的姿态q_e。

在B-x_By_Bz_B坐标系中，点M的坐标可表示为向量：

M = d z_{B}

(6)

由于驱动角θ已知，点M_i的坐标可表示为θ的函数。中间平面{M}的法向量z_M可通过下式计算：

z_{M} = \frac{(M_{3} - M_{2}) \times (M_{2} - M_{1})}{‖(M_{3} - M_{2}) \times (M_{2} - M_{1})‖}

(7)

根据（M-M₁）z_M=0，可推导出d的表达式如下：

d = \frac{M_{1} z_{M}}{z_{B} z_{M}}

(8)

设z_M=[a b c]^T，通过对式（2）~（4）进行转换，可确定α、β分别为：

α = - 2 a r c s i n (b)

(9)

β = 2 a r c s i n (\frac{a}{\cos α})

(10)

至此，正运动学分析完成。

1.4 雅可比矩阵计算

变量

{\dot{q}}_{x}

可通过式（2）和式（4）推导得出：

{\dot{q}}_{x} = J_{1} {\dot{q}}_{e}

(11)

变量

{\dot{q}}_{e}

可通过式（7）~（9）推导得出：

{\dot{q}}_{e} = J_{2} \dot{θ}

(12)

因此，可得：

{\dot{q}}_{x} = J_{3} \dot{θ}

(13)

式中，J₃=J₁J₂。

{\dot{q}}_{a}

和

\dot{θ}

之间的雅可比矩阵可直接由J₂获得：

{\dot{q}}_{a} = J_{4} \dot{θ}

(14)

式中，J₄为J₂的前两行，并且由于

γ = \dot{γ} = 0

，J₄∈R^2×3。

1.5 动力学分析

3-RSR机构各组件的质量定义如下：驱动连杆、从动连杆和动平面{P}的质量分别为m_a、m_b和m_c。该机构中所使用的连杆具有较大的长细比（长度与截面尺寸之比），其质量分布更接近于杆状结构，两端集中质量的模型能较好地近似实际质量分布。因此，假设连杆的质量集中于其两端，忽略中间段的质量对系统整体动力学影响较小。

3-RSR并联机构动平面{P}的平移动能为

E_{t k e} = \frac{1}{2} {\dot{q}}_{x}^{T} m {\dot{q}}_{x}

(15)

式中，

m = m_{c} + \frac{3}{2} m_{b}

。

3-RSR并联机构动平面{P}的转动动能为

E_{r k e} = \frac{1}{2} ω_{p m}^{T} I_{P} ω_{p m}

(16)

式中：ω_pm为动平面{P}在坐标系P-x_Py_pz_p中的角速度矢量，I_P=diag{I_xI_yI_z}为动平面{P}相对于坐标系P-x_Py_Pz_P的惯性矩阵。

ω_pm与ω_P之间的关系为

ω_{p m} = R (x, α)^{- 1} R (y, β)^{- 1} ω_{P}

(17)

ω_P与旋转矩阵

_{{B}}^{{P}} R

之间的关系为

{\tilde{ω}}_{P} =_{{B}}^{∣ P}} {\dot{R}}_{{B}}^{{P}} R

(18)

式中，符号~为向量的反对称矩阵，可表示为

{\tilde{ω}}_{P}

- {\tilde{ω}}_{P}^{T}

。 ω_P的反对称矩阵可表示为

\tilde{ω} = [\begin{matrix} 0 & - ω_{γ} & ω_{β} \\ ω_{γ} & 0 & - ω_{α} \\ - ω_{β} & ω_{α} & 0 \end{matrix}]

(19)

结合式（17）、（18），可求到ω_P。因此，根据式（15），动平面{P}的转动动能为

E_{r k e} = \frac{1}{2} {[\begin{matrix} \dot{α} \\ \dot{β} \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} I_{x} & 0 \\ 0 & I_{y} {c o s}^{2} α + I_{z} {s i n}^{2} α \end{matrix}] [\begin{matrix} \dot{α} \\ \dot{β} \end{matrix}]

(20)

结合式（14）和式（19），可得到动平面{P}的总动能为

E_{k e} = E_{t k e} + E_{r k e} = \frac{1}{2} {\dot{q}}^{T} M_{P} \dot{q}

(21)

式中M_P为{P}的质量矩阵。

动平面{P}的势能可表示为

E_{p e} = m g z_{p}

(22)

根据拉格朗日函数的定义，应用拉格朗日方程可将连杆的运动方程推广至3-RSR并联机构的动平面{P}，得到如下拉格朗日方程：

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = τ_{i}

(23)

式中：L为拉格朗日函数，定义为L=E_ke-E_pe；q_i为动能和势能的广义坐标; τ_i为广义力，是作用在坐标q_i方向上的假设力和力矩。

基于虚功原理，可推导出系统的动力学方程：

M (q) \ddot{q} + C (q, \dot{q}) \dot{q} + G (q) = J (τ + τ_{d})

(24)

其中：

\begin{matrix} M (q) = [\begin{matrix} m \cdot I_{3 \times 3} & 0_{3 \times 2} \\ 0_{2 \times 3} & (\begin{matrix} I_{x} & 0 \\ 0 & I_{y} {c o s}^{2} α + I_{z} {s i n}^{2} α \end{matrix}) \end{matrix}] \\ C (q, \dot{q}) = [\begin{matrix} 0_{4 \times 4} & (\binom{0_{3 \times 1}}{\frac{1}{2} (I_{y} - I_{z}) s i n (2 α) \dot{β}}) \\ 0_{1 \times 4} & (I_{z} - I_{y}) s i n (2 α) \dot{α} \end{matrix}] \\ G (q) = {[\begin{matrix} 0 & 0 & m g & 0 \\ 0 \end{matrix}]}^{T} \\ J = {[\begin{matrix} J_{3}^{T} & J_{4}^{T} \end{matrix}]}^{T} \end{matrix}

式中：M（q）为惯性矩阵，

C （ q ， \dot{q} ）

为科里奥利矩阵， G（q）为重力矩阵，J为机构的雅可比矩阵，τ为驱动力矩，τ_d为扰动力矩。

基于动力学模型（23），可建立系统的状态空间方程。设定状态变量为x₁=q，x₂=

\dot{q}

，从而控制输入为 u=Jτ-G（x₁），扰动项可表示为Ed=Jτ_d，输出为y=q，则状态方程可表示为以下形式：

\{\begin{matrix} \dot{x} = A (x) x + B (x) u + E d \\ y = C x \end{matrix}

(25)

其中:

\begin{matrix} x = [\begin{matrix} x_{1} & x_{2} \end{matrix}] \\ A (x) = [\begin{matrix} 0_{5 \times 5} & I_{5 \times 5} \\ 0_{5 \times 5} & - M^{- 1} (x_{1}) C (x_{1}, x_{2}) \end{matrix}] \\ B (x) = [\begin{matrix} 0_{5 \times 5} \\ M^{- 1} (x_{1}) \end{matrix}] \\ C = [\begin{matrix} I_{5 \times 5} & 0_{5 \times 5} \end{matrix}] \end{matrix}

2 T-S模糊模型

为便于分析，将式（25）重构为T-S模糊系统，此方法可简化稳定性分析，并便于观测器与控制器的设计。

式（25）可表示为具有外部扰动的T-S模糊模型：

规则i 若ε₁属于M_i₁···且ε_ν属于M_iν，则

\dot{x} = A_{i} x + B_{i} u + E_{i} d

(26)

式中：i=1，2，···，l，l为模糊规则的数量；ε=[ε₁，···，ε_ν]^T∈R^ν为前件变量; M_ij为模糊集，j=1，2，···，ν，ν为前件变量的维度；x∈Rⁿ为系统状态; u∈R^m为控制输入; d∈R^o为未知外部扰动，且满足d∈L₂（0，∞）；A_i∈Rⁿ^×ⁿ，B_i∈Rⁿ^×^m，E_i∈Rⁿ^×^o为系统的参数矩阵。由于式（25）的状态变量数量已知，矩阵维度可直接确定为：n=10，m=5，o=1，ν=3。为保持一致性，后续分析沿用上述维度符号。

在此使用扇形非线性方法来处理系统当中的非线性部分^[24]，前件变量ε_i∈[ε_i_min，ε_i_max]（i=1，2，···，ν）为系统当中的非线性项，ε_i_min、ε_i_max分别为ε_i的最小值和最大值。对于每个ε_i可以构造两个归一化权重函数：

η_{0}^{i} = \frac{ε_{i m a x} - ε_{i}}{ε_{i m a x} - ε_{i m i n}}

(27)

η_{1}^{i} = 1 - η_{0}^{i}

(28)

此外，ε_i可以表示为

ε_{i} = ε_{i m i n} η_{0}^{i} + ε_{i m a x} η_{1}^{i}

，即两个极值的加权和。对应于这两个权重函数的模糊集定义在区间[ε_i_min，ε_i_max]上，即ε_i取值的域。

系统动力学方程可进一步表示为

\{\begin{matrix} \dot{x} = \sum_{i = 1}^{l} Φ_{i} (ε) [A_{i} x + B_{i} u + E_{i} d] \\ y = C x \end{matrix}

(29)

其中：

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{l} Φ_{i} (ε) = 1 \\ Φ_{i} (ε) = \frac{\prod_{j = 1}^{ν} M_{i j} (ε_{j})}{\sum_{i = 1}^{l} \prod_{j = 1}^{ν} M_{i j} (ε_{j})} ⩾ 0 \end{matrix}

对于所有i，Φ_i（ε）为归一化的隶属度函数，M_ij（ε_j）为ε_j对应模糊集M_ij的隶属度。系统输出为 y∈R^s。

对于式（25），前件变量的设置如下：

\{\begin{matrix} ε_{1} = \frac{1 (I_{z} - I_{y}) s i n (2 α)}{I_{x}} \dot{β} = D_{1} (α) \dot{β} \\ ε_{2} = \frac{(I_{y} - I_{z}) s i n (2 α)}{I_{y} {c o s}^{2} α + I_{z} {s i n}^{2} α} \dot{α} = D_{2} (α) \dot{α} \\ ε_{3} = \frac{1}{I_{y} {c o s}^{2} α + I_{z} {s i n}^{2} α} \end{matrix}

(30)

由于传感器限制，

\dot{α}

和

\dot{β}

无法直接测量。因此，前件变量ε₁和ε₂为不可测变量，而ε₃为可测变量，其隶属度函数可分别表示为h（σ）和g（ζ），其中σ=ε₃和ζ=[ε₁，ε₂]分别表示可测和不可测的前件变量。

基于上述建模方法，可得到等效的T-S模糊模型（29），其形式为

\{\begin{matrix} \dot{x} = \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} h_{i} (σ) g_{j} (ζ) [A_{i j} x + B_{i j} u + E_{i j} d] \\ y = C x \end{matrix}

(31)

式中l_σ、l_ζ分别为与可测和不可测前件变量相关的规则数。

3-RSR并联机构的控制目标为保持动平面{P}稳定。由于{P}的某些状态变量不可测，因此将设计一个TNL函数观测器和基于观测器的控制器来完成控制任务。

3 主要内容

3.1 观测器设计

本文提出了一种新型TNL函数观测器。对于式（29），矩阵C是满行秩的，C和I_n 满足rank[I_n C^T]^T=n。定义矩阵T₁∈Rⁿ^×ⁿ，T₂∈Rⁿ^×^s和[T₁ T₂]∈Rⁿ^×（ⁿ⁺^s^）为满行秩矩阵^[25]，使得以下条件成立：

(32)

对于式（31），模糊观测器构造为

\{\begin{matrix} \dot{ξ} = \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} h_{i} {\hat{g}}_{j} (N_{i j} ξ + H_{i j} u + J_{i j} y) \\ \hat{x} = ξ + T_{2} y \end{matrix}

(33)

式中：

\hat{x} \in R^{n}

为估计状态，ξ∈Rⁿ为中间状态变量，

N_{i j} \in R^{n \times n} 、 J_{i j} \in R^{n \times s} 、 H_{i j} \in R^{n \times m} 、 T_{2}

为待确定的观测器增益矩阵。

定义估计误差

e = x - \hat{x}

，并考虑式（32）、（33），e可表示为

e = T_{1} x - ξ

(34)

联立式（31）的系统方程与观测器（33），基于式（34），估计误差系统可推导为

\begin{matrix} \dot{e} = T_{1} \dot{x} - \dot{ξ} = \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{k = 1}^{l_{ζ}} h_{i} g_{j} {\hat{g}}_{k} [N_{i k} e + (T_{1} B_{i j} - \\ H_{i k}) u + (T_{1} A_{i j} - N_{i k} T_{1} - J_{i k} C) x + T_{1} E_{i j} d] \end{matrix}

(35)

如果以下条件成立：

T_{1} A_{i j} - N_{i k} T_{1} - J_{i k} C = 0

(36)

T_{1} B_{i j} - H_{i k} = 0

(37)

式（35）的描述可以进一步简化为

\dot{e} = \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{k = 1}^{l_{ζ}} h_{i} g_{j} {\hat{g}}_{k} (N_{i k} e + T_{1} E_{i j} d)

(38)

观测器设计问题转化为求解增益矩阵N_ik，J_ik，H_ik，T₁和T₂，使得式（38）在满足式（36）、（37）的情况下渐近稳定。相较于传统TNL观测器，本文设计的观测器引入更多的决策变量，设计自由度更高且保守性更低。

3.2 稳定性分析

针对观测器误差式（38）的稳定性，本文给出了鲁棒性的具体分析方法。

定理1 对于

\forall i

=1，···，l_σ，j，k=1，···，l_ζ，如果存在标量γ₁＞0和矩阵P_o=P^T_o＞0∈Rⁿ^×ⁿ，W_ik=P_oN_ik，Y=P_oΥ，W_ik∈Rⁿ^×ⁿ，Y∈Rⁿ^×（ⁿ⁺^s^），其中W_ik∈Rⁿ^×ⁿ，Y∈Rⁿ^×（ⁿ⁺^s^），若不等式（39）成立，则式（38）具有鲁棒稳定性，并且具有H_∞性能指标‖e‖₂≤γ₁‖d‖₂，即

[\begin{matrix} H e \{W_{i k}\} + I_{n} & {\tilde{U}}_{i j} \\ ⋆ & - γ_{1}^{2} I_{o} \end{matrix}] < 0

(39)

其中：

\begin{matrix} ℧_{i j} = (P_{o} ϖ Ω_{1} + Y ℶ Ω_{1}) E_{i j}, \\ ϖ = {[\begin{matrix} I_{n} \\ C \end{matrix}]}^{†}, ℶ = (I_{n + s} - [\begin{matrix} I_{n} \\ C \end{matrix}] {[\begin{matrix} I_{n} \\ C \end{matrix}]}^{†}), Ω_{1} = [\begin{matrix} I_{n} \\ 0_{s \times n} \end{matrix}] \end{matrix}

证明给定Lyapunov函数V_o=e^TP_oe≥0，其导数

{\dot{V}}_{o}

为

\begin{matrix} {\dot{V}}_{o} = \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{k = 1}^{l_{ζ}} h_{i} g_{j} {\hat{g}}_{k} [e^{T} (N_{i k}^{T} P_{o}^{T} + P_{o} N_{i k}) e + \\ d^{T} E_{i j}^{T} T_{1}^{T} P_{o} e + e^{T} P_{o} T_{1} E_{i j} d] \end{matrix}

(40)

假设系统初始状态为零且T＞0，定义H_∞性能指标J为

\begin{matrix} J = \int_{0}^{T} (e^{T} e - γ_{1}^{2} d^{T} d + \dot{V}) d t - V_{T} = \\ \int_{0}^{T} ({[\begin{matrix} e \\ d \end{matrix}]}^{T} \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{k = 1}^{l_{ζ}} Ξ_{i j k φ_{1} φ_{2}} [\begin{matrix} e \\ d \end{matrix}]) d t - V_{T} \end{matrix}

(41)

其中

Ξ_{i j k} = [\begin{matrix} H e \{P_{o} N_{i k}\} + I_{n} & P_{o} T_{1} E_{i j} \\ ⋆ & - γ_{1}^{2} I_{o} \end{matrix}]

由此可得，

\int_{0}^{T} ‖ e ‖^{2} d t < γ_{1}^{2} \int_{0}^{T} ‖ d ‖^{2} d t

的一个充分条件是 Ξ_ijk＜0。

求解式（32）^[25]，可得出矩阵[T₁ T₂]的解为

(42)

其中：

ϖ = {[\begin{matrix} I_{n} \\ C_{1} \end{matrix}]}^{†}, ℶ = (I_{n + s} - [\begin{matrix} I_{n} \\ C_{1} \end{matrix}] {[\begin{matrix} I_{n} \\ C_{1} \end{matrix}]}^{†})

Y∈Rⁿ^×（ⁿ⁺^s^）为任意矩阵。因此，T₁和T₂可以得到：

T_{i} = (ϖ + Y ℶ) Ω_{i}, i = 1,2

(43)

其中：

Ω_{1} = [\begin{matrix} I_{n} \\ 0_{s \times n} \end{matrix}], Ω_{2} = [\begin{matrix} 0_{n \times s} \\ I_{s} \end{matrix}]

定义Y=P_oY和W_ik=P_oN_ik，将式（43）代入式（40），便可推出得到式（39）。

由于控制律和系统状态的物理限制，有必要对观测器增益矩阵施加一定的约束。因此可以设置

N_{i j} N_{i j}^{T} < N_{m a x}

，其中N_max=NN^T＞0，N为预定义的负定对角矩阵。考虑到定理1中的定义W_ik=P_oN_ik，可建立如下不等式约束：

W_{i k} W_{i k}^{T} - P_{o} N_{m a x} P_{o}^{T} < 0

(44)

应用Schur补引理，上述不等式可转化为以下形式：

[\begin{matrix} - P_{o} N_{m a x} P_{o}^{T} & W_{i k} \\ ⋆ & - I_{n} \end{matrix}] < 0

(45)

对于负定矩阵

- P_{o} N_{m a x} P_{o}^{T}

，存在预定义的常数κ₁，使以下不等式成立^[26]：

- P_{o} N_{m a x} P_{o}^{T} ⩽ - κ_{1} (P_{o} + P_{o}^{T}) + κ_{1}^{2} N_{m a x}^{- 1}

(46)

应用Schur补引理，可得

[\begin{matrix} - κ_{1} (P_{o} + P_{o}^{T}) & W_{i k} & N^{- 1} \\ ⋆ & - I_{n} & 0 \\ ⋆ & ⋆ & - \frac{1}{κ_{1}^{2}} I_{n} \end{matrix}] < 0

(47)

H_∞性能指标γ₁的求解过程可转化为凸优化问题，即

\begin{matrix} m i n γ_{1}, \\ s . t . [\begin{matrix} H e \{W_{i k}\} + I_{n} & U_{i j} \\ ⋆ & - γ_{1}^{2} I_{o} \end{matrix}] < 0 \\ [\begin{matrix} - κ_{1} (P_{o} + P_{o}^{T}) & W_{i k} & N^{- 1} \\ ⋆ & - I_{n} & 0 \\ ⋆ & ⋆ & - \frac{1}{κ_{1}^{2}} I_{n} \end{matrix}] < 0 \end{matrix}

(48)

观测器增益矩阵的计算步骤如下：

Step1 根据式（43）计算

ϖ

和

ℶ

;

Step2 通过求解凸优化问题（48）得出W_ik，Y，γ₁;

Step3 由式（43）推导T₁和T₂;

Step4 基于式（36），可得

J_{i k} = (T_{1} A_{i j} - N_{i k} T_{1}) C^{†}

;

Step5 根据式（37）计算H_ik。

3.3 基于观测器的控制器设计

本文将设计基于状态观测的控制器。若状态x和前件变量ε不可测量，则控制器可表示为

u = \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} h_{i} g_{j} K_{i j} \hat{\tilde{x}}

(49)

式中：

\hat{\tilde{x}} = x - x_{d} = \tilde{x} - e

，

\hat{\tilde{x}}

为估计状态误差，x_d为期望状态向量，

\tilde{x} = x - x_{d}

为状态跟踪误差。针对3-RSR并联机构的运动控制，需保持上部平台静止，故取

x_{d} = {\dot{x}}_{d} = 0

，后续分析中将不再考虑x_d。

将u代入式（31），并将估计误差式（38）改写为

\begin{matrix} \dot{\tilde{x}} = \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{p = 1}^{l_{σ}} \sum_{q = 1}^{l_{ζ}} h_{i} g_{j} h_{p} {\hat{g}}_{q} \cdot \\ [(A_{i j} + B_{i j} K_{p q}) \tilde{x} - B_{i j} K_{p q} e + Φ_{i j} η] \end{matrix}

(50)

\dot{e} = \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{k = 1}^{l_{ζ}} h_{i} g_{j} {\hat{g}}_{k} (N_{i k} e + T_{1} E_{i j} d)

(51)

其中：

对于式（50）~（51），定理2将给出其鲁棒性特性。

定理2 对于

\forall i

，p=1，···，l_σ，j，q=1，···，l_ζ，如果存在标量κ₂＞0，γ₂＞0和矩阵P_oc=P^T_oc＞0∈Rⁿ^×ⁿ，X=P^-1_oc，X=X^T＞0，M_pq=K_pqX，使得不等式（52）成立，则式（50）鲁棒性稳定且满足性能指标

‖ \tilde{x} ‖^{2} ⩽ γ_{2}^{2} (‖ e ‖^{2} + ‖ η ‖^{2})

，即

[\begin{matrix} H e \{\begin{matrix} A_{i j} X + \\ B_{i j} M_{p q} \end{matrix}\} & - B_{i j} M_{p q} & Φ_{i j} & X & 0 \\ ⋆ & - κ_{2} H e {X} & 0 & 0 & I_{n} \\ ⋆ & ⋆ & - γ_{2}^{2} I_{n + o} & 0 & 0 \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ & - I_{n} & 0 \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ & ⋆ & - \frac{γ_{2}^{2}}{κ_{2}^{2}} I_{n} \end{matrix}] < 0

(52)

证明给定Lyapunov函数

V_{o c} （ \tilde{x} ） = {\tilde{x}}^{T} P_{o c} \tilde{x}

，其导数

{\dot{V}}_{o c}

为

\begin{matrix} {\dot{V}}_{o c} (\tilde{x}) = {\dot{\tilde{x}}}^{T} P_{o c} \tilde{x} + {\tilde{x}}^{T} P_{o c} \dot{\tilde{x}} = \\ \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ξ}} \sum_{p = 1}^{l_{σ}} \sum_{q = 1}^{l_{ξ}} h_{i} g_{j} h_{p} {\hat{g}}_{q} = \\ [{\tilde{x}}^{T} {(A_{i j} + B_{i j} K_{p q})}^{T} P_{o c} \tilde{x} - e^{T} K_{p q}^{T} B_{i j}^{T} P_{o c} \tilde{x} + \\ η^{T} Φ_{i j}^{T} P_{o c} \tilde{x} + {\tilde{x}}^{T} P_{o c} (A_{i j} + B_{i j} K_{p q}) \tilde{x} - \\ {\tilde{x}}^{T} P_{o c} B_{i j} K_{p q} e + {\tilde{x}}^{T} P_{o c} Φ_{i j} η] \end{matrix}

(53)

假设系统初始状态为零且T＞0，定义H_∞性能指标J为

\begin{matrix} J = \int_{0}^{T} ‖ \tilde{x} ‖^{2} d t - γ_{2}^{2} \int_{0}^{T} (‖ e ‖^{2} + ‖ η ‖^{2}) d t + {\dot{V}}_{o c} (\tilde{x}) - \\ V_{T} = \int_{0}^{T} {[\begin{matrix} \tilde{x} \\ e \\ η \end{matrix}]}^{T} \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{p = 1}^{l_{σ}} \sum_{q = 1}^{l_{ζ}} h_{i} g_{j} h_{p} {\hat{g}}_{q} Φ_{i j p q} [\begin{matrix} \tilde{x} \\ e \\ η \end{matrix}] d t \end{matrix}

(54)

若满足Φ_ijpq＜0，则可保证不等式

\int_{0}^{T} ‖ x ‖^{2} d t < γ_{2}^{2} \int_{0}^{T} (‖ e ‖^{2} + ‖ η ‖^{2}) d t

成立，即式（50）的H_∞性能指标得到满足，即

Ψ_{i j p q} = [\begin{matrix} H e \{\begin{matrix} P_{o c} A_{i j} + \\ P_{o c} B_{i j} K_{p q} \end{matrix}\} + I_{n} & - P_{o c} B_{i j} K_{p q} & P_{o c} Φ_{i j} \\ ⋆ & - γ_{2}^{2} I_{n} & 0 \\ ⋆ & ⋆ & - γ_{2}^{2} I_{n + o} \end{matrix}]

(55)

应用Schur补引理，可将上述不等式转换为

[\begin{matrix} H e \{\begin{matrix} A_{i j} X + \\ B_{i j} M_{p q} \end{matrix}\} & - B_{i j} M_{p q} & Φ_{i j} & X \\ ⋆ & - γ_{2}^{2} X^{T} X & 0 & 0 \\ ⋆ & ⋆ & - γ_{2}^{2} I_{n + o} & 0 \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ & - I_{n} \end{matrix}] < 0

(56)

对于负定矩阵

- γ_{2}^{2} X^{T} X

，存在预定义的常数κ₂，使得以下不等式成

- γ_{2}^{2} X^{T} X ⩽ - κ_{2} (X^{T} + X) + (κ_{2}^{2} / γ_{2}^{2}) I_{n}

(57)

代入式（56）后，不等式（55）可改写为

[\begin{matrix} H e \{\begin{matrix} A_{i j} X + \\ B_{i j} M_{p q} \end{matrix}\} & - B_{i j} M_{p q} & Φ_{i j} & X \\ ⋆ & \{\begin{matrix} - κ_{2} H e {X} + \\ \frac{γ_{2}^{2}}{κ_{2}^{2}} I_{n} \end{matrix}\} & 0 & 0 \\ ⋆ & ⋆ & - γ_{2}^{2} I_{n + o} & 0 \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ & - I_{n} \end{matrix}] < 0

(58)

再次应用Schur补引理，最终得到：

[\begin{matrix} H e \{\begin{matrix} A_{i j} X + \\ B_{i j} M_{p q} \end{matrix}\} & - B_{i j} M_{p q} & Φ_{i j} & X & 0 \\ ⋆ & - κ_{2} H e {X} & 0 & 0 & I_{n} \\ ⋆ & ⋆ & - γ_{2}^{2} I_{n + o} & 0 & 0 \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ & - I_{n} & 0 \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ & ⋆ & - \frac{γ_{2}^{2}}{κ_{2}^{2}} I_{n} \end{matrix}] < 0

(59)

H_∞性能指标γ₂的求解可转化为凸优化问题：

\begin{matrix} m i n γ_{2}, \\ s . t . [\begin{matrix} H e \{\begin{matrix} A_{i j} X + \\ B_{i j} M_{p q} \end{matrix}\} & - B_{i j} M_{p q} & Φ_{i j} & X & 0 \\ ⋆ & - κ_{2} H e {X} & 0 & 0 & I_{n} \\ ⋆ & ⋆ & - γ_{2}^{2} I_{n + o} & 0 & 0 \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ & - I_{n} & 0 \\ ⋆ & ⋆ & ⋆ & ⋆ & - \frac{γ_{2}^{2}}{κ_{2}^{2}} I_{n} \end{matrix}] < 0 \end{matrix}

(60)

定理1和定理2分别证明了观测器与控制器的稳定性，但需进一步验证观测器-控制器闭环系统的整体稳定性。为此，定理3给出了式（50）~（51）的全局稳定性证明。

定理3 若对于

\forall i

=1，···，l_σ，j，k=1，···，l_ζ，式（38）是输入状态稳定的，同时，若对于

\forall i

，p=1，···，l_σ，j，k，q=1，···，l_ζ，式（50）~（51）是输入状态稳定的，则整个系统是稳定的。

证明选择Lyapunov函数为

V_{o c} （ \tilde{x} ） = {\tilde{x}}^{T} P_{o c} \tilde{x}

，则存在实正常数γ_oc₁和γ_oc₂，使得

γ_{o c 1} ‖ \tilde{x} ‖^{2} ⩽ V_{o c} （ \tilde{x} ） ⩽ γ_{o c 2} ‖ \tilde{x} ‖^{2}

。进一步计算V_oc的导数

{\dot{V}}_{o c}

为

\begin{matrix} {\dot{V}}_{o c} (\tilde{x}) = {\dot{\tilde{x}}}^{T} P_{o c} \tilde{x} + {\tilde{x}}^{T} P_{o c} \dot{\tilde{x}} = \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{p = 1}^{l_{σ}} \sum_{q = 1}^{l_{ζ}} h_{i} g_{j} h_{p} {\hat{g}}_{q} \cdot \\ [{\tilde{x}}^{T} {(A_{i j} + B_{i j} K_{p q})}^{T} P_{o c} \tilde{x} - e^{T} K_{p q}^{T} B_{i j}^{T} P_{o c} \tilde{x} + \\ η^{T} Φ_{i j}^{T} P_{o c} \tilde{x} + {\tilde{x}}^{T} P_{o c} (A_{i j} + B_{i j} K_{p q}) \tilde{x} - \\ {\tilde{x}}^{T} P_{o c} B_{i j} K_{p q} e + {\tilde{x}}^{T} P_{o c} Φ_{i j} η] \end{matrix}

(61)

对于

\forall i

=1，···，l_σ，j，k=1，···，l_ζ，可以得到以下不等式：

\begin{matrix} {\dot{V}}_{o c} (\tilde{x}) < - \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ξ}} \sum_{p = 1}^{l_{σ}} \sum_{q = 1}^{l_{ξ}} h_{i} g_{j} h_{p} {\hat{g}}_{q} (e^{T} K_{p q}^{T} B_{i j}^{T} P \tilde{x} + \\ {\tilde{x}}^{T} P B_{i j} K_{p q} e) - ‖ x ‖^{2} + γ_{o c}^{2} ‖ η ‖^{2} \end{matrix}

(62)

式中γ_oc为正常数。结合定理1中使用的Lyapunov函数V_o，存在实正常数γ_o₁和γ_o₂，使得

γ_{o 1} ‖ e ‖^{2} ⩽ V_{o} （ e ） ⩽ γ_{o 2} ‖ e ‖^{2}

。根据定理1中的不等式

{\dot{V}}_{o} （ e ） + e^{T} e - γ_{o}^{2} d^{T} d < 0

，可得

{\dot{V}}_{o} (e) < - ‖ e ‖^{2} + γ_{o}^{2} ‖ d ‖^{2} < (1 / γ_{o 2}) V_{o} (e) + γ_{o}^{2} ‖ d ‖^{2}

(63)

式中γ_o为正常数。进一步推导

{\dot{V}}_{o c} （ \tilde{x} ）

的表达式为

\begin{matrix} {\dot{V}}_{o c} (\tilde{x}) ⩽ 2 \sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{p = 1}^{l_{σ}} \sum_{q = 1}^{l_{ζ}} ‖h_{i} g_{j} h_{p} {\hat{g}}_{q} P B_{i j} K_{p q}‖ ‖ x ‖ ‖ e ‖ - \\ ‖ x ‖^{2} + γ_{o c}^{2} ‖ η ‖^{2} ⩽ \\ 2 {(\sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{p = 1}^{l_{σ}} \sum_{q = 1}^{l_{ζ}} ‖h_{i} g_{j} h_{p} {\hat{g}}_{q} P B_{i j} K_{p q}‖)}^{2} ‖ e ‖^{2} - \\ \frac{1}{2} ‖ x ‖^{2} + γ_{o c}^{2} ‖ η ‖^{2} ⩽ \\ - \frac{1}{2 γ_{o c 2}} V_{o c} (\tilde{x}) + \frac{2 \bar{α}}{γ_{o 1}} V_{o} (e) + γ_{o c}^{2} ‖ η ‖^{2} \end{matrix}

(64)

其中

\bar{α} = m a x (\sum_{i = 1}^{l_{σ}} \sum_{j = 1}^{l_{ζ}} \sum_{p = 1}^{l_{σ}} \sum_{q = 1}^{l_{ζ}} ‖h_{i} g_{j} h_{p} {\hat{g}}_{q} P B_{i j} K_{p q}‖)

由不等式（63）、（64）可知，V_o（e）是有界的，并且：

\dot{V} ⩽ Λ V (\bar{x}) + C

(65)

其中：

\begin{matrix} V = [\begin{matrix} V_{o c} (\tilde{x}) \\ V_{o} (e) \end{matrix}], \bar{x} = [\begin{matrix} V_{o c} (\tilde{x}) \\ V_{o} (e) \end{matrix}], \\ Λ = [\begin{matrix} - \frac{1}{2 γ_{o c 2}} & \frac{2 \bar{α}}{γ_{o 1}} \\ 0 & \frac{1}{γ_{o 2}} \end{matrix}] < 0, C = [\begin{matrix} γ_{o c}^{2} ‖ η ‖^{2} \\ γ_{o}^{2} ‖ d ‖^{2} \end{matrix}] \end{matrix}

根据[0，Th.4.19]，式（65）确保了式（50）~（51）的输入状态稳定性。结合比较原理[0，Lemma3.4]，可证明式（50）~（51）是输入状态稳定的。

4 仿真试验

本文通过仿真验证所提观测器与控制器对3-RSR并联机构的控制效果。

驱动连杆、从动连杆，以及动平面{P}的质量分别定义为m_a、m_b和m_c。仿真中使用的3-RSR并联机构参数如下：驱动连杆B_iM_i和从动连杆P_iM_i的质量均为m_a=m_b=1 kg；动平面{P}的质量为m_c=2 kg； △P₁P₂P₃的外接圆半径为r=0.1 m；连杆B_iM_i和P_iM_i的长度为l=0.095 m。

由于机械结构的限制，状态变量的范围易于确定，具体见表1。

根据表1，可得式（25）中每个子系统的矩阵A_ij，B_ij。矩阵A_ij，B_ij和E_ij的具体形式展示在附件中。

表1状态变量的作用域

Tab.1Operation domain of state variables

在观测器的设计过程中，H_∞性能指标γ的大小通常用于衡量观测器的性能，γ越小，观测器的性能越好。实验中，将本文所设计的 TNL 型函数观测器与全阶观测器[0，Th.1]、TNL型观测器[0，Th.1]，以及传统函数观测器[0，Th.2]进行对比，结果见表2。

表2H_∞指数γ的比较

Tab.2Comparison of the H_∞ index γ

从表2可以看出，本文设计的 TNL 型函数观测器的H_∞性能指标γ在4种观测器中最小，因此该观测器的性能最优。

在Δt=10~12 s内施加外部干扰d=-1。可测量的前件变量为

σ = ϵ_{3}

，不可测量的前件变量为ζ₁=

ϵ_{1}

，ζ₂=

ϵ_{2}

。相应的隶属度函数如下：

\{\begin{matrix} h_{1} (σ) = h_{σ} \\ h_{2} (σ) = 1 - h_{σ} \end{matrix}

(66)

\{\begin{matrix} g_{1} (ζ_{1}, ζ_{2}) = g_{ζ_{1}} g_{ζ_{2}} \\ g_{2} (ζ_{1}, ζ_{2}) = g_{ζ_{1}} (1 - g_{ζ_{2}}) \\ g_{3} (ζ_{1}, ζ_{2}) = (1 - g_{ζ_{1}}) g_{ζ_{2}} \\ g_{4} (ζ_{1}, ζ_{2}) = (1 - g_{ζ_{1}}) (1 - g_{ζ_{2}}) \end{matrix}

(67)

其中：

\begin{matrix} h_{σ} = \frac{σ_{1 m a x} - σ_{1}}{σ_{1 m a x} - σ_{1 m i n}} \\ g_{ζ_{1}} = \frac{ζ_{1 m a x} - ζ_{1}}{ζ_{1 m a x} - ζ_{1 m i n}} \\ g_{ζ_{2}} = \frac{ζ_{2 m a x} - ζ_{2}}{ζ_{2 m a x} - ζ_{2 m i n}} \end{matrix}

分别定义初始状态量和期望状态量：x=[0，0，80，0，0，0，0，0，0，0，0]， x_d=[-13.759 7，13.865 4，154.578 5，-10，-10，0，0，0，0，0，0]。定理1和定理2中预定义的常量分别为κ₁=20和κ₂=30。计算得到定理1和定理2中的决策变量分别为γ₁=2.574 3×10^-13，γ₂=3.447 2，仿真结果见图2~6。如图7所示为电机转角θ和电机驱动力矩τ的变化。电机转角在 5 s 内收敛，即使在有干扰的情况下也能实现快速响应。电机的驱动力矩在5 s内逐渐增大，当动平面{P}到达期望位置x_d时，驱动力矩迅速趋近于0。当受到干扰时，驱动力矩仅有微小波动。

图2状态变量x_P及其导数

{\dot{x}}_{P}

Fig.2State variable x_P and its derivative

{\dot{x}}_{P}

图3状态变量y_P及其导数

{\dot{y}}_{P}

Fig.3State variable y_P and its derivative

{\dot{y}}_{P}

图4状态变量z_P及其导数

{\dot{z}}_{P}

Fig.4State variable z_P and its derivative

{\dot{z}}_{P}

图5状态变量α及其导数

{\dot{α}}_{}

Fig.5State variable α and its derivative

{\dot{α}}_{}

图6状态变量β及其导数

{\dot{β}}_{}

Fig.6State variable β and its derivative

{\dot{β}}_{}

图7电机转角θ及驱动力矩τ

Fig.7Motor angle θ and driving torque τ

平台的初始位置和最终位置见图8。在初始状态下，驱动角为θ_i=24.901 1°，i=1，2，3，在仿真结束时，驱动角为θ₁=73.535 4°，θ₂=38.477 9°，θ₃=62.974 1°。

图8平台的始末位置

Fig.8Starting and ending positions of the platform

5 结论

1）通过结合秩约束方法，显著降低了参数计算的复杂度，同时提升了设计自由度。

2）设计了新型TNL函数观测器，提出了一种针对UPVs的鲁棒性处理框架，通过放宽传统方法的保守性约束条件，显著提升系统状态估计精度。

3）首次提出将TNL函数观测器应用于3-RSR并联机构的控制中，实现工程应用层面的创新。

4）仿真试验验证表明，所提出的控制策略在3-RSR并联机构中展现出优良的控制性能。

图13-RSR并联平台关节原理图

Fig.1Schematic diagram of 3-RSR parallel platform joint

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图2状态变量x_P及其导数

{\dot{x}}_{P}

Fig.2State variable x_P and its derivative

{\dot{x}}_{P}

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图3状态变量y_P及其导数

{\dot{y}}_{P}

Fig.3State variable y_P and its derivative

{\dot{y}}_{P}

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图4状态变量z_P及其导数

{\dot{z}}_{P}

Fig.4State variable z_P and its derivative

{\dot{z}}_{P}

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图5状态变量α及其导数

{\dot{α}}_{}

Fig.5State variable α and its derivative

{\dot{α}}_{}

下载: 全尺寸图片

图6状态变量β及其导数

{\dot{β}}_{}

Fig.6State variable β and its derivative

{\dot{β}}_{}

下载: 全尺寸图片

图7电机转角θ及驱动力矩τ

Fig.7Motor angle θ and driving torque τ

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图8平台的始末位置

Fig.8Starting and ending positions of the platform

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表1状态变量的作用域

Tab.1Operation domain of state variables

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表2H_∞指数γ的比较

Tab.2Comparison of the H_∞ index γ

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图13-RSR并联平台关节原理图

Fig.1Schematic diagram of 3-RSR parallel platform joint

图2状态变量x_P及其导数

{\dot{x}}_{P}

Fig.2State variable x_P and its derivative

{\dot{x}}_{P}

图3状态变量y_P及其导数

{\dot{y}}_{P}

Fig.3State variable y_P and its derivative

{\dot{y}}_{P}

图4状态变量z_P及其导数

{\dot{z}}_{P}

Fig.4State variable z_P and its derivative

{\dot{z}}_{P}

图5状态变量α及其导数

{\dot{α}}_{}

Fig.5State variable α and its derivative

{\dot{α}}_{}

图6状态变量β及其导数

{\dot{β}}_{}

Fig.6State variable β and its derivative

{\dot{β}}_{}

图7电机转角θ及驱动力矩τ

Fig.7Motor angle θ and driving torque τ

图8平台的始末位置

Fig.8Starting and ending positions of the platform

表1状态变量的作用域

Tab.1Operation domain of state variables

表2H_∞指数γ的比较

Tab.2Comparison of the H_∞ index γ

图13-RSR并联平台关节原理图

Fig.1Schematic diagram of 3-RSR parallel platform joint

图2状态变量x_P及其导数

{\dot{x}}_{P}

Fig.2State variable x_P and its derivative

{\dot{x}}_{P}

图3状态变量y_P及其导数

{\dot{y}}_{P}

Fig.3State variable y_P and its derivative

{\dot{y}}_{P}

图4状态变量z_P及其导数

{\dot{z}}_{P}

Fig.4State variable z_P and its derivative

{\dot{z}}_{P}

图5状态变量α及其导数

{\dot{α}}_{}

Fig.5State variable α and its derivative

{\dot{α}}_{}

图6状态变量β及其导数

{\dot{β}}_{}

Fig.6State variable β and its derivative

{\dot{β}}_{}

图7电机转角θ及驱动力矩τ

Fig.7Motor angle θ and driving torque τ

图8平台的始末位置

Fig.8Starting and ending positions of the platform

表1状态变量的作用域

Tab.1Operation domain of state variables

表2H_∞指数γ的比较

Tab.2Comparison of the H_∞ index γ

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Publication Statement

Journal Subscription

1 3-RSR系统运动学和动力学

2 T-S模糊模型

3 主要内容

4 仿真试验

5 结论