摘要
除了水平地震作用，竖向地震动亦显著影响吊顶等非结构构件的破坏状态，而当前有关结构在竖向地震动作用下的竖向加速度响应研究还不充分。为此，以某包含不同尺寸楼板的实际框架结构为例，进行结构竖向振型分析，开展4类共80条地震动作用下的时程分析，研究结构竖向加速度响应及其影响因素，并拟合了可供非结构构件抗震分析的标准化竖向设计反应谱。结果表明：楼层竖向加速度放大系数范围主要在1.21~8.16，远大于各国规范对水平向放大系数的规定；结构的竖向加速度响应与楼板自振频率、竖向地震动卓越频率、楼层高度以及楼层中楼板上位置有关，结构竖向响应可能存在由结构竖向柔性导致的明显放大现象，其对非结构构件存在不利影响；得到了结构竖向加速度标准化设计谱曲线和数学表达方式，可更好地用于非结构构件的抗震分析。
关键词
Abstract
In addition to horizontal seismic actions, vertical ground motion also significantly affects the damage state of non-structural components such as suspended ceilings. However, there is currently insufficient research on the vertical acceleration response of structures under vertical ground motion. To address this gap, a case study is conducted using a real frame structure with different-sized floor slabs. This study performs vertical mode analysis of the structure and conducts time history analyses under four categories of seismic motions, totaling 80 records. The vertical acceleration response of the structure and its influencing factors are studied, and a standardized vertical design response spectrum for seismic analysis of non-structural components is fitted. The results show that the vertical peak floor acceleration amplification factor for the floors range from 1.21 to 8.16, which is much higher than the horizontal amplification factors specified in various national standards. The vertical acceleration response of the structure is influenced by the self-vibration frequency of slabs, the dominant frequency of vertical ground motions, the height of the floors and the position of slabs within the floors. The vertical response of the structure may be amplified significantly due to the vertical flexibility of the structure, which have obvious adverse effects on non-structural components. Additionally, a standardized design spectrum and mathematical expression for vertical acceleration of the structure are obtained, which can be better used for the seismic analysis of non-structural components.
过去几十年发生的多次大地震显示，强烈的竖向地震动对各类建筑造成了灾难性破坏。1994年发生的Northridge地震和1995年发生的Kobe地震中均出现由竖向地震动导致的结构倒塌、柱剪切破坏等现象，在Northridge地震中甚至观察到部分酒店及购物中心楼板坍塌的情况，这是由结构的竖向加速度过大导致的[1]。在2022年发生的泸定地震中，潘毅等[2]发现强烈的竖向地震作用是导致框架柱下端破坏的直接原因。在2023年发生的土耳其地震中，强度显著的竖向地震动对土耳其工业建筑造成了严重破坏[3]。1999年发生的Chi-Chi地震、2011年发生的Tōhoku地震和2011年发生的Christchurch地震也出现了由竖向地震动导致结构破坏的情况。因此，不可忽略竖向地震动对结构安全性的影响。
目前，由于普遍假定结构在竖向相对刚性，在关于结构和非结构构件的抗震研究中往往更加关注水平方向地震作用的影响，从而忽视了竖向地震动对结构主体及非结构构件抗震安全性的不利作用，关于结构竖向加速度响应的研究十分欠缺。戴靠山等[4]分析了钢框架结构在近断层非脉冲竖向地震动作用下的竖向加速度响应，结果表明，4层结构顶层的竖向加速度是地面竖向加速度的5倍多；Moschen等[5]对钢框架结构柱以及其附近的竖向加速度响应进行了统计评估，发现随着结构高度的增加，结构柱位置的竖向加速度相对于地面放大了3~6倍；Gremer等[6]对基于FEMA P-695原型设计的多层不同高度钢框架结构进行分析，发现其楼面竖向加速度放大倍数显著大于水平向放大倍数；Francis等[7]对一座4层钢筋混凝土结构进行建模分析，研究了墙和梁的竖向加速度响应，结果表明，墙在竖向相对刚性，其竖向加速度沿高度基本不会放大，而梁的竖向加速度放大明显；Gremer等[8]量化了弹性钢框架结构在地震作用下水平向和竖向楼面加速度响应的需求，结果表明，水平向楼面峰值加速度可达水平地震动峰值的2倍，而竖向楼面峰值加速度可达竖向地震动峰值的7倍，主要在柱和梁位置出现竖向加速度的显著放大。Furukawa等[9]、Ryan等[10]和Soroushian等[11]在日本E-Defense进行的振动台试验表明，楼板柔性会导致结构楼面竖向加速度响应出现放大情况。在Furukawa等的试验中观测到楼板竖向加速度从楼板边角位置到楼板中间位置放大了1.8~2.6倍，这与在Northridge地震[12]中记录到的楼板竖向加速度放大规律基本一致。Xiang等[13]提出了一种计算规则钢筋混凝土框架楼板竖向加速度的解析方法，其模拟结果显示，楼板柔性是导致结构竖向加速度放大的主要原因，且楼板竖向加速度随结构高度增加而增加，最高可达到输入竖向地震加速度的10倍。
结构的竖向加速度响应放大主要与梁-柱体系和楼板的竖向柔性有关，核心在于结构主体和楼板的竖向自振频率。当地震动卓越频率与结构自振频率重叠时，竖向加速度响应会显著放大。研究表明，较大的竖向加速度可能严重威胁吊顶、天花板等非结构构件的抗震安全性[14]。因此，在对非结构构件进行抗震设计时，若忽略结构的竖向加速度响应，其设计将不够保守。然而，各国规范对非结构构件的竖向抗震设计缺乏系统性规定，且未量化拟合竖向加速度设计谱。《建筑抗震设计规范》[15]仅对大跨、超高层等特殊建筑考虑竖向地震作用，并且在对非结构构件的抗震设计中并没有明确地震作用的方向性。
针对上述研究空缺，选取国内某多层框架结构，采用ETABS软件建立了有限元模型，分析了结构竖向振型受楼板局部振动的影响情况。为了考虑不同地震动特性对结构竖向加速度响应的影响，共选取了4类80条三向地震动作为激励进行时程分析，主要从竖向加速度、竖向反应谱峰值对应频率等多个角度进行研究，考察了楼板及结构柱的竖向加速度响应特征，并分析了结构弹塑性行为的影响，最后，拟合出考虑楼板自振频率的竖向加速度标准化设计谱，可供非结构构件竖向抗震设计及后续研究进行参考。
1 模型与楼板选取
1.1 有限元模型介绍
为了充分考察到楼板自振特性对结构竖向响应的影响，选用某多层框架结构，该结构楼板数量较多、尺寸丰富，楼板频率覆盖范围较宽，符合研究需求。其建筑平面呈L形，X向长56 m，宽15 m；Y向长57 m，宽16 m。结构地上3层，层高4 m，建筑总高度为12 m。采用ETABS软件建立了三维有限元模型，模型如图1（a）所示，结构底部采用固定的约束形式。结构所在地区抗震设防烈度为7度，设计地震分组为第1组，特征周期为0.45 s，场地类别为Ⅲ类。
在ETABS软件中建模时，使用弹性三维Frame单元模拟混凝土框架结构的梁和柱，用Shell单元模拟楼板，该单元考虑了楼板的面内、面外刚度，可以合理模拟出楼板的柔性特性。楼板与其四周的梁、柱等构件连接，并不人为设定额外的约束，这些梁、柱单元为楼板提供了约束。结构的质量源按重力荷载代表值设置，集质量于水平、竖直方向。
1.2 选取楼板基本信息及验证
为了尽可能考虑楼板自振频率多样性对结构竖向加速度响应的影响，选取该多层框架结构中频率在7.3~126.7 Hz的9块楼板进行具体分析。有限元模型中楼层平面布局如图1（b）所示，楼板基本信息如表1所示。
图1框架结构有限元模型
Fig.1Finite element model of frame structure
表1楼板基本信息
Tab.1Basic information about floor slabs
楼板自振频率由ETABS软件对相关楼板布置结构模型中对应的梁、柱四周约束情况进行模态分析得出。为了验证其可靠性，采用理论计算的方法对结果进行核对。假设矩形楼板的四边均为简支，其自振频率按下式计算[16]：
(1)
(2)
式中：α为板的基频系数，见表2；D为板的弯曲刚度；E、υ分别为混凝土的弹性模量和泊松比；h为板的厚度；L为板的长边长度；为板单位面积内的质量。
注:a为楼板长边尺寸，b为楼板短边尺寸，J代表铰接，G代表固接。
楼板的实际边界状态处于完全刚接和完全铰接的中间状态，此时理论方法无法直接给出楼板频率。因此，为了验证数值模型的准确性，在有限元软件（ANSYS、ETABS）中分别将楼板四周进行固接和铰接，并在理论计算时根据相对应的边界条件来确定楼板基频系数，选取面积较大的前3块楼板进行对比，结果如表3所示。
相较于铰接，将楼板四周固接会增大对楼板的约束、增加楼板的面外刚度，使其自振频率增加。由表3可知，对于楼板四周固接，ANSYS模拟结果、理论公式结果与ETABS的误差均小于5%；对于楼板四周铰接，两种验证方法与ETABS的误差最大为11.46%。
表3理论公式与模拟结果对比
Tab.3Comparison of theoretical formulas and simulation results
综上，当有限元模型和理论模型中楼板的边界条件相同时，3种计算方法得到的频率结果非常接近，可以较好反应有限元模拟方法的准确性。
1.3 结构竖向振型分析
由于本研究主要针对结构的竖向加速度响应，需要捕捉更多的结构竖向振型，同时需要考虑楼板局部振动带来的影响，选用Ritz向量法进行模态分析。结构竖向振型对应的频率较高，分析时考虑有限元模型的前300阶模态，使其竖向模态振型质量参与系数达到90%以上，从而充分考虑结构竖向模态的影响。结构的前三阶水平自振周期为0.76、0.74、0.66 s。竖向振型质量参与系数见表4。可以看出，在279阶振型处，结构竖向质量参与系数达到了90%。表5给出部分由楼板局部振动主导的结构竖向振型相关信息。图2给出部分相关的结构竖向振型。
表4结构竖向质量参与系数
Tab.4Vertical mass participation coefficient of structure
表5结构竖向振型相关信息
Tab.5Information about vertical modes of structure
在结构整体竖向振型中，部分阶振型在大面积楼板处出现显著、独立的竖向振动特性，其对应的结构竖向振型频率接近其楼板的自振频率，竖向质量参与系数也相对较高，其竖向振型主要由楼板控制，这可能导致出现显著的竖向地震反应。
由图2及表4、5可知，7.3、9.6、13.7 Hz楼板的局部振动可以显著影响结构整体的竖向振型，其竖向质量参与系数相对较大；17.5 Hz和22.5 Hz楼板由于面积相对较小，对结构整体竖向振型的影响有限，其竖向质量参与系数也相对较小。
图2结构竖向振型
Fig.2Vertical modes of the structure
2 地震动介绍
为了尽可能地考虑多种地震反应谱形状、宽频地震动以及脉冲型地震动的特性，使用Baker等[18]研究中给出的标准地震动记录集。该地震动记录集主要用于PEER交通抗震研究中不同类型的结构与场地条件，不局限于特定的结构与场地，并且该记录集主要关注地震较活跃的地区，即可能受中等强度到高等强度断层地震影响且距离为近场及中等距离的地区。使用该记录集中4类共80组三向地震动进行研究，分为4类，即1a、1b、2和3类。其中，1a类对应的地震动均为具有较高震级、较近距离的宽频地震动（Mw=7，R=10 km，软土场地）；1b类对应的地震动和1a类相比距离更远（Mw=6，R=25 km，软土场地）；2类为基于岩石场地的宽频地震动（Mw=7，R=10 km，岩石场地）；3类为脉冲型地震动。
4 类地震动归一化后的加速度反应谱见图3。可以看出，竖向加速度反应谱峰值对应频率主要集中在5~18 Hz，与现场实测建筑最低的竖向固有频率范围重叠[12，19]，这表明当地震发生时，可能会出现共振作用导致的结构竖向加速度显著放大情况。
图3研究所选用4类地震动
Fig.3Type4 ground motion selected for the study
3 结构竖向加速度响应特征分析
现行规范普遍建议以水平向地震动幅值的2/3来估计竖向地震动幅值，这低估了近断层的竖向地震作用[20-22]，且在已发生的多次地震中观测到存在水平、竖向峰值加速度之比大于2/3的情况[23]。因此，将地震动按天然三向比例进行调幅，以保证竖向地震作用的真实占比。在后续的分析中，按7度小震，将水平单向地震动调幅后进行时程计算。考虑到水平向地震会对结构竖向响应造成一定影响，在时程分析时输入三向地震加速度。
3.1 非结构构件竖向抗震设计相关公式
ASCE 7-22[24]中定义了非结构构件的竖向抗震设计力，即
(3)
式中：SDS为反应谱短周期段的值，D可视为非结构构件的重量。由式（3）可知，ASCE 7-22并未考虑结构竖向响应随高度的放大作用。
Moschen等[5]提出结构竖向加速度沿楼层高度变化的经验公式：
(4)
式中：aPFV为楼层竖向峰值加速度，aPGV为地震动竖向峰值加速度，fξ为阻尼修正函数，hrel为非结构构件相对地面高度与结构高度的比值。目前，关于楼层竖向响应放大系数的相关研究较少。
3.2 楼层竖向加速度放大系数特征分析
楼层竖向加速度放大系数（vertical peak floor acceleration amplification factor，VFA）为结构竖向峰值加速度（PFAv）与地面竖向峰值加速度（PGAv）的比值，用于体现结构中各楼层对地面竖向加速度的放大作用。本文计算的弹性框架VFA沿结构高度放大情况及其与相关研究的对比见图4。图中VFA为4类地震动时程分析后所得平均值。
VFA沿结构高度大体上呈线性增加的趋势，并基本在顶层达到最大。据统计，本研究结构的VFA总体为1.21~8.16，这与Xiang等[13]给出的竖向放大倍数范围接近。其中，不同构件位置的VFA存在明显差异。7.3~22.5 Hz楼板的VFA沿结构高度放大显著，主要为1.86~8.16。在顶层，13.7 Hz楼板的VFA最大。29.6~126.7 Hz楼板的VFA则沿结构高度放大不明显，部分出现了在顶层缩小的情况，该类楼板的VFA主要为1.26~2.38。结构柱的VFA范围为1.21~1.74，这与29.6 Hz及以上频率楼板的VFA变化范围接近。因此，可初步认为，结构中高频楼板和结构柱的竖向加速度响应随结构高度的变化规律和范围基本一致，在后续研究中可按同类进行对比分析。
图4楼层竖向加速度放大系数
Fig.4Vertical peak floor acceleration amplification factor
由图4可知，ASCE 7-22[24]严重低估了结构的竖向加速度响应，Moschen等[5]提出的公式则保守评估了结构柱及高频楼板的竖向楼层加速度，但亦较为严重低估了低频楼板沿楼层高度的竖向加速度放大情况。目前，各国规范[25]规定的结构楼层水平向加速度响应放大系数主要为1~3，这与高频楼板和结构柱的VFA范围接近，但低频楼板的VFA远大于该范围，需要进行更深入的研究。
此外，不同地震动特性对结构竖向响应存在影响。其中脉冲型地震对结构竖向响应影响最大，结构VFA整体范围可达1.40~8.16，1a、1b类地震作用下结构VFA范围分别为1.32~7.55、1.31~7.04，2类地震对结构竖向响应影响相对最小，VFA范围为1.26~6.67。
3.3 楼层竖向加速度反应谱特征分析
楼层加速度反应谱可以有效体现不同自振特性非结构构件的动力特征，本节针对可简化为单自由度体系的非结构构件的竖向加速度响应特征进行分析。通过MATLAB软件计算已选楼板及其边角位置结构柱的竖向加速度时程数据，阻尼比设为0.05。为确保统计分析结果的普遍性，采用80条地震动作用下结构竖向反应谱的均值进行比较分析。
图5给出不同自振频率楼板的竖向反应谱。对于7.3~22.5 Hz楼板，其竖向反应谱仅在楼板自振频率处出现明显波峰，并且随着楼板自振频率增加，竖向反应谱峰值出现先增大后减小的趋势，这反映了楼板竖向振动特性对其竖向加速度响应的影响。由于竖向地震动的卓越频率主要集中在12 Hz附近，且由1.3节可知，13.7 Hz楼板竖向振型对应的质量参与系数相较于其他振型更大，该楼板的竖向加速度响应显著。对于29.6~126.7 Hz楼板，其竖向反应谱并未出现明显峰值，楼板基本不体现独立的振动特性。
图6给出各类楼板与其对应结构柱的竖向反应谱。地震波沿结构柱向上传递的过程中，不同竖向振动特性构件展现出不同的振动响应。由图6（a）~（e）可知，7.3~22.5 Hz楼板的竖向反应谱相对于输入地震和结构柱放大显著，三者反应谱形状不同，该类楼板与结构柱展现出不同的竖向振动特性。结构柱的竖向反应谱体现了柱在受到竖向地震荷载时的动态响应特性。在本研究中，由于模型跨度较大，结构各阶竖向模态的质量参与系数相对分散，不同结构柱的竖向反应谱亦存在差异。由图6（f）~（i）可知，29.6 Hz以上楼板的竖向响应与结构柱接近，二者谱形、峰值接近，仅略大于输入竖向地震动。结构柱的竖向振动会影响该频率范围内的楼板，二者体现相似的振动特性。
图5不同自振频率楼板竖向反应谱对比
Fig.5Comparison of vertical response spectra of floor slabs with different self-vibration frequencies
图6楼板与结构柱竖向反应谱对比
Fig.6Comparison of vertical response spectra for floor slabs and structural columns
综上，楼层竖向反应谱体现结构的自振特性，结构对竖向地震动有一定的滤波效应。当楼板自振频率与竖向地震动卓越频率接近时会发生共振作用，结构中不同构件的竖向振动特性各异。因此，在对非结构构件进行地震分析时，应根据非结构构件所在具体位置，提取合适的竖向楼层加速度进行分析，而非竖向地震动。
表6统计了从结构柱到楼板中间的竖向加速度响应变化。其中，PSAv为结构竖向加速度反应谱幅值。可以看出，7.3~22.5 Hz楼板的PFAv和PSAv放大情况明显，PFAv放大倍数范围为1.9~4.4，PSAv放大倍数范围为1.8~6.8；频率大于29.6 Hz楼板的PFAv放大倍数范围为0.9~1.5，PSAv放大倍数范围为0.8~1.7，结构柱与楼板中间位置的加速度响应接近。
表6楼板竖向加速度放大情况
Tab.6Amplification of vertical acceleration in floor slabs
图7给出在输入1979年El Centro Array #6台站中测得的Imperial Valley-06地震动后，结构顶层中两块楼板与柱的竖向加速度时程对比。
图8给出7.3、9.6、13.7 Hz楼板从结构柱到楼板中间的竖向加速度反应谱。楼板上的反应谱波形均与楼板中间相似，越靠近楼板中间位置，其竖向响应越显著。由此可知，大面积低频楼板上不同位置的竖向加速度响应存在差异，在对该类楼板上非结构构件进行竖向抗震设计时，主要以楼板中间位置的竖向响应为主，也应关注楼板上不同位置的情况。
图7竖向加速度时程对比
Fig.7Comparison of vertical acceleration time history
图8楼板上不同位置的竖向加速度响应变化
Fig.8Variation of vertical acceleration response at different locations on the floor slab
3.4 非线性对结构竖向加速度响应的影响
本节主要考察结构的弹塑性行为对竖向加速度响应的影响。基于本研究使用的弹性框架结构模型，对梁、柱布置塑性铰模拟框架构件的材料非线性，对模型中楼板采用非线性分层壳进行模拟。通过Rayleigh阻尼考虑结构振动能量的耗散，结构阻尼比取0.05。Rayleigh阻尼中的质量比例系数与刚度比例系数按结构一阶振型周期和竖向质量参与系数达到90%时对应的周期计算得到。在ETABS软件中采用Newmark-β直接积分法进行求解，积分时间步长取0.001 s，满足精度要求。
使用3类脉冲型地震动中的Northridge地震时程进行计算，并分别选取低频、高频楼板和结构承重构件进行分析。计算时区分弹性结构和弹塑性结构，均按7度大震调幅。图9给出两类结构的VFA对比情况。在该条地震作用下，结构的弹塑性行为会使3类构件的VFA出现轻微变化，其倍数范围分别为0.99~1.17、0.85~1.11、0.95~1.08，随结构高度变化趋势接近弹性。其中，低频楼板的弹塑性行为整体上会放大结构的竖向加速度响应。
图9弹性与弹塑性VFA对比
Fig.9Comparison of elastic and elastic-plastic VFA
图10给出结构弹性与弹塑性竖向反应谱对比情况。总体上，二者的竖向反应谱形接近，弹塑性结构的反应谱峰值出现轻微减小的情况。
图10结构弹性与弹塑性竖向反应谱对比
Fig.10Comparison of elastic and elastic-plastic vertical response spectra of structures
4 竖向加速度设计谱
根据上文中给出的楼层竖向反应谱特征分析可以看出，楼板的自振特性对于结构的竖向加速度响应具有显著影响。各国规范目前没有规定关于结构竖向响应的具体计算方法，且不同自振特性非结构构件（如吊顶、天花板等）的竖向加速度响应与其所在主体结构情况密切相关，为便于分析，基于如下假定：1）仅针对可简化为弹性单自由度体系的非结构构件；2）不考虑非结构构件与主结构的相互作用，提出了一种考虑楼板自振频率的楼层竖向设计谱。
4.1 拟合方法
本次拟合方法采用标准化的设计谱形式，根据抗震设计规范拟合地震设计谱的理论，类比推出楼层竖向加速度设计谱，其设计谱由几个特征参数确定，其中最主要的是反应谱平台值和特征周期。利用动力放大系数谱来表示[26]，即
(5)
式中：β（T）为自振周期为T的单自由度体系对竖向加速度的放大系数，Sa（T）为竖向加速度反应谱，aPFV为楼层竖向峰值加速度。
4.2 标准化竖向设计谱
为了充分考虑结构竖向加速度反应谱特征，将不同自振频率楼板及结构柱的竖向反应谱进行归一化，可根据式（5）计算得出，即为结构标准化竖向加速度反应谱。由于篇幅有限，图11给出相关示例。其中，Mean为反应谱平均值，σ为标准差，Max为上包络值，Min为下包络值。
图11竖向加速度标准化反应谱
Fig.11Normalized vertical acceleration response spectrum
由水平向楼层反应谱研究可知，当地震动卓越周期和主体结构基本周期相差较多时，水平向楼层谱会分别在二者处形成明显峰值[27]，影响因素明显。而由于结构在竖向相对刚性，且竖向振型成分复杂，竖向楼层谱会受楼板自振频率、竖向地震动卓越频率等多方面影响，竖向楼层谱的分析更集中于短周期段。
本文提出的楼层竖向设计谱主要根据提取的各楼层竖向反应谱拟合而成。由归一化后反应谱可知，结构竖向响应主要集中于短周期段，在楼板自振频率、竖向地震动卓越频率以及结构主体竖向自振频率处存在显著响应，随后衰减迅速。根据竖向响应特征，楼层竖向设计谱主要为一个峰值段，该峰值段考虑两类影响因素，第一类为考虑楼板竖向自振特性导致的竖向加速度放大，第二类为主体结构竖向自振频率与竖向地震动卓越频率附近因结构滤波及放大作用产生的反应谱峰值段，见图12。其中，考虑到结构与地震动会发生共振作用，以安全性为目标，T1取结构竖向一阶自振周期和竖向地震动卓越周期的较大值，β1为平台段放大系数，β2为1.5 s处放大系数，γ1和γ2为衰减段衰减指数。具体依据式（6）进行计算。
图12标准化竖向设计谱
Fig.12Normalized vertical design spectrum
1）直线上升段：至T0处达到最大值β1；
2）平台段：从T0至T1结束；
3）第一衰减段：从T1至T2处放大系数衰减至1；
4）第二衰减段：从T2至1.5 s处放大系数衰减至β2。
(6)
式中：T0为确定值0.04 s; T1根据结构和竖向地震动特性确定; T2为确定值0.32 s; β1可在确定楼层位置后，以第3节相关分析内容为基础，结合楼板自振频率或T1等相关信息，参考图13和式（7）计算得出; β2为0.35; γ1和γ2可根据β1和β2计算得出，进而确定所需竖向设计谱。
以下将详细介绍各参数取值：1）该竖向设计谱平台段根据共计4 320条标准化楼层竖向反应谱峰值提取，进行统计分析取其平均值，并考虑不同自振频率楼板和结构柱的竖向反应谱差异。2）自平台段后，动力放大系数快速衰减，平均各条标准化竖向楼层谱，取当β=1时对应的周期值，即T2。设计谱最大周期取为1.5 s，根据使用的各条楼层竖向加速度反应谱1.5 s处放大系数进行统计分析，计算其平均值为0.35，即为β2取值。3）从图6、7可以看出，结构中不同位置楼层竖向反应谱存在明显差异，图13分析了结构中各楼层竖向反应谱峰值平均结果与其对应周期的关系，即β1与T3的关系，具体表现为不同位置所得的楼层竖向反应谱峰值对应周期点分散于0.04~0.14 s，对应频率为7~25 Hz，该频率段与结构竖向自振频率、竖向地震动卓越频率范围重合。由于结构的自振频率和竖向地震动的主频率相互作用，局部存在对竖向加速度响应的显著放大。谱峰值段的最大值出现在楼板处，其值为6.0，对应周期点位置在0.083 s、频率为12 Hz，这与该楼板自振频率和竖向地震动主频率接近，是二者出现共振作用所导致的放大现象。楼板处的谱峰值段最小值为3.1，对应频率为25 Hz。当楼板自振频率增大至一定程度时，楼板产生的局部振动响应较小。谱峰值段最小值出现在柱子处，其值为2.6，对应周期点0.06 s、频率为16.67 Hz，接近结构第146阶振型。结构中柱子位置处的竖向反应谱峰值段的最大值对应周期点0.091 s、频率为11.0 Hz，处于输入竖向地震动卓越周期附近，其值达到了4.5。4）平台段初始周期T0以图13中分析的出现谱峰值最小频率25 Hz，即0.04 s作为取值。
图13β1与T3的关系
Fig.13The relationship between β1 and T3
由3.2节的相关分析可知，结构中不同位置的竖向加速度响应存在显著差异。因此，基于安全性，图13给出关于β1的相关拟合，分为楼板拟合和柱子拟合。
当非结构构件位于结构中柱子处时，考虑到结构中构造复杂及受力不一致的情况，统一以最大值4.5作为β1的取值。当非结构构件位于结构中楼板处时，考虑到不同楼板的自振频率随楼板厚度、面积等相关因素存在较大区别，并且为了设计谱使用时的便利性，统一以式（7）作为β1的取值参考。根据前述关于楼板上不同位置的竖向加速度放大情况，以及考虑到结构中竖向刚度、荷载分布不均，对于结构梁处的非结构构件竖向抗震设计，β1取4.5进行分析，对于大面积楼板上不同位置的非结构构件，保守起见β1同样按式（7）取值。其中，采用楼板拟合部分时，T3视为楼板自振频率对应周期值。
(7)
式中fs为折减系数。在对归一化后竖向反应谱进行分析时发现，各楼层中的谱峰值存在差异，其中，顶层处的谱峰值最大。对于楼板，fs在顶层位置取值为1，其余层取0.88；对于柱子，fs在顶层位置取值为1，其余层按0.87+0.13h取值，其中，h代表相对高度。
为了验证竖向设计谱的可行性，图14给出了本文使用结构中两类构件的模拟结果和设计谱的对比。
图14设计谱应用示例
Fig.14Application example of design spectrum
5 结论
1）基于抗震设计规范拟合水平向设计谱的方法，提出了一种考虑楼板自振频率的楼层竖向设计谱，可用于非结构构件的竖向抗震分析，并分情况给出了该设计谱的应用示例。该设计谱有效区分了结构中不同构件的竖向响应差异，综合了地震波与结构共振产生的放大作用，合理考虑到可能出现的楼板局部显著振动响应。
2）在本文选用的框架结构模态分析中，7.3、9.6、13.7 Hz楼板的局部振动可以显著影响到结构整体的竖向振型，质量参与系数较大，其余选中楼板的局部振动对整体竖向振型影响有限，结构竖向刚度分布较为复杂。
3）楼层竖向加速度放大系数VFA主要为1.21~8.16，其中，脉冲型地震对结构的竖向响应作用最显著。VFA总体随结构高度呈线性变化，其最大值远大于各国规范对水平向放大系数的规定，相关研究也严重低估了结构竖向加速度响应。
4）结构对竖向地震动的滤波作用会显著影响结构中不同构件位置的竖向加速度响应。7.3~22.5 Hz楼板的竖向振动特性显著，其中间位置的竖向反应谱幅值对应频率接近楼板的自振频率，该频率范围内楼板的竖向反应谱相较于结构主体、竖向地震动存在显著波形差异；29.6 Hz以上楼板中间位置的竖向反应谱幅值对应频率接近竖向地震动卓越频率，并且与结构柱相比，二者反应谱波形、幅值接近，该频率范围楼板基本不体现其竖向振动特性。在对非结构构件进行竖向抗震分析时，应合理选择楼层波作为输入激励，并且对非结构构件进行竖向抗震设计时，应避开相关频率。
5）楼板局部振动对结构的竖向加速度响应存在影响。对于7.3~22.5 Hz楼板，从结构柱到楼板中间有明显的竖向加速度放大过程，PFAv放大范围为1.9~4.4，PSAv放大范围为1.8~6.8，而其余高频楼板几乎不出现此类放大现象。
6）结构的弹塑性行为对于VFA的分布存在一定影响，相较于弹性结构，其变化倍数范围为0.85~1.17，弹性、弹塑性竖向反应谱形状接近，应进一步研究结构弹塑性行为对竖向加速度响应的影响。
