摘要
为方便计算分析系杆断裂后钢管混凝土刚架系杆拱桥动力响应特性，采用动力系数考虑系杆断裂过程的动力效应，建立了一种考虑系杆断裂效应的等效静力计算方法。与系杆断裂模型试验结果对比，验证了考虑系杆断裂的有限元建模方法正确性。开展某钢管混凝土刚架系杆拱桥响应分析，确定不同系杆断裂情况下的动力系数取值。结果表明：系杆应作为刚架系杆拱桥系杆断裂动力分析主要构件，桥墩面内弯矩和墩顶水平位移可作为辅助分析指标。单侧系杆断裂情况下，断索侧墩顶位移较大，非断索侧墩顶位移很小，端横梁产生剪力和扭矩；双侧系杆断裂情况下，断索侧端横梁不产生扭矩，拱肋轴力减小，桥墩面外弯矩变化不明显。根据桥例分析结果，采用考虑系杆断裂动力效应的刚架系杆拱桥等效静力法计算时，建议单侧断索动力系数取1.4，双侧断索动力系数取1.6。
Abstract
To facilitate the computation and analysis of the dynamic response of concrete-filled steel tubular (CFST) rigid-frame tied-arch bridges after tie rod fracture, a dynamic coefficient is introduced to account for the dynamic effects during the fracture process. An equivalent static calculation method incorporating the effect of tie rod fracture is proposed. The validity of the finite element modeling approach for simulating tie rod fracture was verified through comparisons with experimental results from a physical model test. A response analysis was carried out on a CFST rigid-frame tied-arch bridge to determine dynamic coefficients under various tie rod fracture scenarios. The results demonstrate that the tie rods should be regarded as the primary components in the dynamic analysis of such bridges after fracture. The in-plane bending moment of the piers and the horizontal displacement at the pier top can serve as supplementary indicators. In the case of single-side tie rod fracture, significant displacement occurs at the pier top on the fractured side, while displacement on the non-fractured side is negligible. The end crossbeam is subjected to shear and torsion. In contrast, under double-side fracture conditions, no torsion is generated in the end crossbeam on the fractured side, the axial force in the arch rib decreases, and the out-of-plane bending moment of the pier shows little variation. Based on the analysis, it is recommended to use a dynamic coefficient of 1.4 for single-side fracture and 1.6 for double-side fracture when applying the equivalent static method for assessing CFST rigid-frame tied-arch bridges considering the dynamic effect of tie rod fracture.
系杆拱桥在中国有着广泛应用，系杆索具有构件截面较小、应力幅高、疲劳问题突出、耐腐蚀性能较弱的特点。系杆索在各种因素的共同作用下容易发生腐蚀、断丝等现象，从而导致抗力下降，甚至断裂[1]。一些由吊杆断裂引起的拱桥连续倒塌事故已有报道，吊杆的安全性日益受到关注[2]。与之相比，系杆都安装在系杆箱内，并且由于断裂的动力效应，系杆设计通常有相当大的冗余度，因此在日常检查中，系杆往往会被忽视，导致系杆健康状况甚至比吊杆更糟[3]。如佛山佛陈大桥在投入使用5 a后发现系杆存在严重的腐蚀和断丝问题，31根钢索完全断裂，20根系杆中有7根钢绞线的横截面面积腐蚀了9%[4]。四川绵阳飞来石大桥在投入使用15 a后进行检查，发现第二跨上游端的一根系杆因为钢丝严重腐蚀而破裂，另外由于钢丝互相缠绕，所有48根系杆都存在腐蚀和断丝问题[5]。表1列出6座下承式钢管混凝土系杆拱桥的换索情况，一半是因为系杆损伤，另一半是因为发生系杆断裂，所有桥梁的系杆索更换周期远低于《公路桥涵设计通用规范》（JTG D60—2015）[6]规定的20 a，其中更换周期最短的为4 a，最长的为15 a，平均仅为7.7 a。
表1换索的6座刚架系杆拱桥
Tab.1Six rigid frame tied arch bridges with cable replacement
当系杆断裂时，大部分由主拱产生的水平推力会转移到下部结构和基础上，拱脚可能会发生较大的水平位移，给主拱带来很大的附加弯矩。此外，由于系杆断裂带来的巨大冲击，内力和变形的增量会被放大，进而引发其余结构的破坏。为防止结构连续性倒塌，国内外规范对桥梁结构中的关键构件失效也作出了相关规定，系杆同样属于需要考虑的关键构件。根据《公路桥涵设计通用规范》（JTG D60—2015）[6]和《公路工程结构可靠性设计统一标准》（JTG 2120—2020）[7]规定，公路桥涵的承载能力极限状态设计应考虑偶然状况，即当偶然破坏事件发生时，结构会发生与初始破断不成比例的连续性倒塌，因此需要考虑破坏安全极限状态下的可靠性。对于桥梁结构设计与验算来说，强健性设计应成为重要组成部分[8]。
对于与斜拉桥相关的断索，美国斜拉桥协会《斜拉桥设计、测试和安装建议》（PTI 2012）[9]规定，对于任一拉索断索，保证剩余结构不会发生连续性破坏，用静态索力的两倍去考虑斜拉桥拉索的突然断裂而产生的冲击力，将冲击力同时作用于锚固位置的顶部和底部。许多研究人员利用有限元方法结合备用路径法研究了桥梁断索效应，主要关注悬索桥、斜拉桥的拉索以及拱桥的吊杆断裂效应和强健性分析。Starossek[10]研究表明，在斜拉桥或悬索桥中，斜拉索或吊杆是特别容易受到影响的关键构件。田伟雄[11]认为中间位置的吊杆缺失对的连续刚架拱桥稳定性影响较大。Li等[12]主张吊杆是中承式拱桥的主要传力构件，其可靠性和耐久性对桥梁的安全至关重要。目前尚无针对考虑系杆断索的偶然状况的设计规定。
刚架系杆拱桥中系杆断索效应研究方面，Wu等[13]、Jiang等[14]、符晶华等[15]、林超伟[16]、朱劲松等[17]采用有限元方法分析了系杆断裂对刚架系杆拱桥剩余结构内力和变形的影响，分析方法上直接在有限元模型中去除断裂的系杆，无法考虑系杆瞬时断裂对结构产生的动力效应。近年来，部分学者针对拱桥吊杆断裂开展了等效静力计算方法研究，如吴庆雄等[18-21]、陈康明等[22]开展了考虑吊杆断裂动力效应的中、下承式拱桥动力分析，分别对短吊杆和长吊杆断裂，提出了相应的动力系数建议值。聂尚杰等[23]考虑吊杆动力放大系数，对一座刚架系杆拱桥进行了强健性设计。
综上所述，现有考虑斜拉索断裂的斜拉桥和吊杆断裂的中、下承式拱桥的等效静力计算方法已较为成熟，将复杂的动力计算问题转化为静力计算，简化了断索分析的计算效率。但对于刚架系杆拱桥考虑系杆断裂的等效静力方法还未见报道，对于各不利位置处考虑系杆断索的动力放大系数暂无定论。为此，本文参考和借鉴现有拉索断裂效应研究成果，以刚架系杆拱桥为研究对象，开展考虑系杆断裂的钢管混凝土刚架系杆拱桥动力响应分析，揭示单侧及双侧系杆断裂后剩余结构的动力响应，提出考虑系杆断裂等效荷载乘数的等效静力法，讨论适合系杆断裂等效静力计算的动力系数取值，研究成果可对钢管混凝土刚架系杆拱桥的系杆断裂分析提供参考。
1 考虑系杆断裂动力效应的等效静力法
采用模拟失效构件移除所产生的动力效应进行系杆断裂分析，有限元模型计算时间长且数据处理繁琐，如能采用静力计算则可提高分析效率。但静力分析仅能考虑系杆断索后结构的稳态响应，无法体现系杆断裂冲击效应对于剩余结构的影响。考虑引入动力放大系数，即结构构件失效引起的动力响应极值与静力响应的比值[24]。根据结构动力学原理，动力荷载的大小不影响动力放大系数取值，只与结构一阶固有频率及动力荷载作用时间相关，具体表达为
(1)
式中：y为系杆断裂后结构动力响应，μD为考虑系杆断裂的动力系数，yst为系杆断裂后结构静力响应。
分析系杆断裂效应时，在拱脚系杆断索处施加一对大小相等、方向相反的集中力N1为
(2)
式中：N1为考虑系杆断裂效应的等效静力，μD为考虑系杆断裂的动力系数，N0为无损状态下系杆索力。
系杆断裂等效静力法示意如图1所示。当一根系杆断索后，在同侧的拱墩水平节点处施加一对大小相等方向相反的水平推力。当μD=1时，为不考虑动力效应的静力分析，当等效静力分析结果与动力分析结果相等时，认为此时的μD为合理的动力放大系数。因此，动力系数取值是等效静力法分析的关键。
图1系杆拱桥等效静力法计算示意
Fig.1Schematic diagram of equivalent static method calculation for tied arch bridge
与吊杆断裂情况不同，刚架系杆拱桥的系杆需在横向两侧拱脚分别布置一定数量来平衡拱脚水平推力，系杆多采用集束型布置，单根系杆受力相同，当系杆断裂超过一定根数后，剩余系杆由于无法平衡水平推力而使得桥梁发生垮塌危险，在有限元计算中将无法得到计算结果。可通过设计水平推力，以及系杆材料抗拉强度标准值、单侧系杆根数和单根系杆面积，计算出可能会发生的系杆断裂根数的下限值。计算中分为单侧系杆断裂和双侧系杆同时断裂两种工况。
1）单侧系杆断裂工况：
(3)
2）双侧系杆断裂工况：
(4)
式中：H0为桥墩水平推力，n为系杆数量，Asingle为单根系杆截面面积，nloss为断索数量，σu为系杆材料抗拉强度标准值。
通过式（3）和式（4），可分别计算得到单侧和双侧系杆断裂后剩余系杆应力值，如超过剩余系杆应力强度，则不进行计算分析。
2 有限元计算方法与模型验证
2.1 考虑系杆断裂的有限元模拟方法
利用ANSYS/LS-DYNA分析程序进行系杆断裂模拟分析。采用考虑结构静力计算的初始状态的瞬时卸载法[25]，通过等效荷载瞬时卸载法来模拟系杆断裂动力分析，分析流程如图2所示。在ANSYS/LS-DYNA中首先通过前处理进行静力计算，将计算结果导入小型重启动文件，利用应力初始化关键字，在静力计算的初始状态下进行动力分析，利用ANSYS/LS-DYNA完全重启动功能，模拟系杆断裂时删除对应系杆与桥墩的连接，系杆将会瞬时退出工作。通过完全重启动，引入关键字*STRESS_INITIALIZATION以初始化剩余模型和非断裂系杆的变形及应力，从而实现对系杆断裂全过程的模拟。
图2系杆断裂模拟过程
Fig.2Simulation process of tie rod fracture
对于拉索破断引起的剩余结构动力响应，实际失效时间上限取系杆断裂后剩余结构基础周期T的0.1倍[26]。系杆断索在实际情况中一般是瞬间破断的，适合采用变换荷载路径法进行动力分析。文献[27]认为对于拉索失效后的剩余结构构件来说，失效时间越短放大效应越大，当实际失效时间小于0.01T时，动力计算结果基本趋于稳定。实测了14座刚架系杆拱桥面内一阶阻尼比，考虑了不同的结构阻尼比对于不同的桥梁结构的影响，认为结构阻尼比可偏安全的取0.02，此时阻尼对断索引起的体系振动可以进行有效的抑制和能量耗散。本文在试验模型的有限元分析中取断索触发装置断开时间0.1 s，在实桥动力分析中系杆断裂时间偏保守地取剩余结构基本周期T的0.01倍，结构阻尼采用文献[28]中实测总结取0.02。
2.2 系杆断索模型试验与有限元模型
为验证系杆断裂模拟方法的正确性，根据钢管混凝土系杆拱桥系杆断裂试验结果[29]，建立相应的有限元模型进行计算结果对比。
试验模型总体设计如图3所示，主要由主拱、拱座、端横梁、桥面系、吊杆和系杆组成。钢材为Q345钢、混凝土为C50、系杆和吊杆为Φ12.7标准型钢绞线。试验模型对原桥主梁截面以1∶6.4的比例进行了缩尺。为了对上部结构施加自重荷载，按设计吊杆力考虑相似原理后设计悬吊桥面系。桥面系纵梁两端支承于台座上，中间通过吊杆悬吊于主拱下。桥面系与系杆索相互独立。张拉双侧共5对系杆，每根系杆索力为12.63 kN，单侧系杆力为63.15 kN，两侧共计126.3 kN。利用电磁控制原理设计系杆断索触发装置，实现系杆瞬时断裂现象，共4根系杆断索，即释放一侧系杆力为50.52 kN，系杆断裂时间控制在0.1 s以内，研究结构一侧发生部分系杆断索时的结构响应，试验模型照片如图4所示。
图3试验模型总体布置（cm）
Fig.3General layout of the test model（cm）
图4系杆拱桥断索试验模型
Fig.4Test model for cable breakage in tied arch bridge
试验对应的ANSYS/LS-DYNA有限元模型如图5所示。模型由22根吊杆、44根纵梁、11根横梁和48个拱肋单元组成。吊杆采用仅受拉的三维杆单元Link180模拟，纵梁、横梁和拱肋，采用Beam161单元进行建模，能充分考虑剪切变形的影响，具备承受拉、压、弯、扭和剪的能力。材料属性、边界条件等与试验设置相同。材料屈服强度、弹性模量等根据材性试验实测结果取值，钢材屈服强度和弹性模量分别为368 MPa和2.05×105 MPa，混凝土立方体抗压强度和弹性模量分别为51.5 MPa和3.56×104 MPa。通过ANSYS/LS-DYNA中的刚性连接设置，实现吊杆节点与纵梁节点、系杆节点与刚架节点、拱脚节点与刚架节点之间的节点耦合。根据2.1节介绍的方法实现系杆断裂模拟计算。
图5试验有限元模型
Fig.5Finite element model oftest
2.3 有限元计算与试验结果对比
选取拱座位移、剩余系杆索力、拱肋应力响应作为分析指标，将有限元模拟结果与试验结果进行对比，如图6所示。可以看出，有限元模拟曲线与试验实测响应曲线趋势基本一致。分别将系杆断裂后有限元计算与试验得到的拱座位移、剩余系杆索力和拱肋应力极值与稳态值进行对比，汇总于表2。可以看出，有限元计算与试验得到的拱座位移响应极值与稳态值偏差在4%以内，剩余系杆索力响应极值与稳态值偏差在8%以内，拱座位移响应极值与稳态值偏差在11%以内。验证了本文所建立的有限元模型和等效荷载瞬时卸载法可以较准确地模拟系杆断裂后剩余结构的动力响应。
图6有限元计算与试验实测动力响应对比
Fig.6Comparison of dynamic response between finite element calculation and experimental results
表2有限元计算与试验实测值对比
Tab.2Comparison of finite element calculation and experimental measurement values
3 钢管混凝土刚架系杆拱桥系杆断裂动力分析
3.1 模型建立
某工程实际跨径190 m刚架系杆拱桥，有19对吊杆和8对系杆。拱肋弦管采用Q420钢，拱肋横撑、腹杆、上平联、下平联采用Q355钢，主梁、纵梁钢材采用Q345钢；拱肋弦管内采用C60混凝土，桥面板采用C50混凝土，桥墩及横梁采用C40混凝土；吊杆、系杆采用Strand1860钢绞线。设置8对系杆锚固于拱座端部，为体外预应力束。在每道横梁上设置支撑架，以保护索体、克服索的垂度，降低系杆张拉时的摩擦损失。
采用相同有限元建模方法建立刚架系杆拱桥有限元模型，如图7所示。各部件材料参数根据规范设计参数取值。系杆与桥墩、拱肋与桥墩间的连接采用弹性连接的刚接模拟方法，通过刚性连接实现吊杆节点与纵梁节点、系杆节点与刚架节点、拱脚节点与刚架节点之间的节点耦合。桥墩底部设置固结约束。系杆断裂模拟计算方法与试验有限元计算模型一致。
图7刚架系杆拱桥有限元模型
Fig.7Finite element model of rigid frame tied arch bridge
3.2 构件响应指标确定
与简支系杆拱桥不同，刚架系杆拱桥的拱肋、系杆分别与桥墩固结，系杆断裂后剩余结构共同受力，断索冲击力会先作用于刚架再传递至拱肋。断索作用下刚架系杆拱的墩顶位移会小于简支系杆拱的拱座位移，单侧系杆断裂将导致结构两侧冲击力和位移不同，导致端横梁在剪力和弯矩作用下发生转动。因此，选定系杆、拱肋、桥墩作为主要分析构件，对比分析单侧和双侧系杆断裂情况下，结构剩余系杆索力、桥墩水平推力、桥墩弯矩、墩顶水平位移和拱肋内力响应情况。单侧系杆总数n=8，单侧拱脚水平推力H0=29 897 kN，系杆材料抗拉强度标准值σu=1 860 N/mm2，单根系杆面积Asingle =0.007 69 m2。根据式（3）和式（4），计算得到单侧断裂根数nloss=5，双侧断裂根数nloss=4时，剩余系杆平均应力超过或接近抗拉强度标准值，如表3所示。
表3系杆断裂数量计算
Tab.3Calculation results of the number of single side tie rod fractures
3.3 不同系杆断裂情况对比
计算单侧系杆由1根断裂至5根断裂，双侧系杆由1根断裂至4根断裂，将各部件动力响应极值汇总于表4，动力响应极值与初始状态对比增幅结果汇总于表5。对比分析可知，剩余系杆应力受系杆断裂影响较大，考虑动力效应后的剩余系杆应力大于静力理论计算结果，需要考虑系杆断裂动力效应影响。单侧系杆断裂5根后剩余系杆应力增幅为3.71倍，双侧系杆断裂4根后剩余系杆应力增幅为3.25倍，系杆应作为刚架系杆拱桥断索动力分析主要构件。
表4不同系杆断裂情况下各构件动力响应极值
Tab.4Extreme values of dynamic response of components under different tie rod fracture
表5不同系杆断裂情况下各构件动力响应变化幅值
Tab.5Dynamic response amplitude change of components under different tie rod fracture
桥墩面内弯矩和墩顶水平位移也受系杆断索影响较大，增幅明显，但由于初始状态下桥墩面内弯矩和墩顶水平位移值很小，因此桥墩面内弯矩和墩顶水平位移可作为辅助分析指标。
单侧系杆断裂情况下，断索侧墩顶位移较大，非断索侧墩顶位移很小，导致端横梁产生剪力和扭矩，双侧断索无需考虑。单侧系杆断裂5根情况下，端横梁扭矩为-21 016 kN·m，端横梁剪力为3 411 kN，端横梁应力依然满足强度要求。拱肋内力值在断索情况下减小，桥墩面外弯矩变化不明显。因此，后续等效静力分析中可不考虑端横梁、拱肋和桥墩面外弯矩影响。
4 等效静力法的动力系数取值分析
4.1 考虑系杆动力响应的μD取值
根据动力分析结果，单侧系杆断裂5根、双侧系杆断裂4根时，剩余系杆平均应力超过抗拉强度标准值，视为结构破坏。因此，单侧系杆断裂5根为单侧系杆断裂最不利工况，双侧系杆断裂4根为双侧系杆断裂最不利工况。
关于动力放大系数，根据动力学原理，它只与结构的一阶固有频率及动力荷载作用的时间有关，而与动力荷载的大小无关。动力放大系数指结构的动态位移响应与相同力值作用下的静态位移响应的比值，考虑系杆断裂的动力响应时μ取值一般不超过2.0[30]。取不同动力系数μD变化幅值由1.0到2.0，计算由等效静力法得到的剩余系杆应力值，并与动力计算值进行对比，定义为效应比率。当效应比率为1时，则表明等效静力法与动力计算得到的结构响应一致，结果如图8所示。可以看出，剩余系杆应力效应比率与动力放大系数μD呈线性相关。对于剩余系杆应力，单侧最不利工况动力系数为1.4，双侧最不利工况动力系数为1.6时，等效静力法计算得到的剩余系杆应力结果与动力计算结果一致。
图8剩余系杆应力在不同动力系数下效应比率
Fig.8The effect ratio of residual tie stress under different dynamic coefficients
4.2 考虑桥墩动力响应的μD取值
系杆断裂后桥墩水平推力的效应比率如图9所示。可以看出，桥墩水平推力效应比率与动力放大系数μD呈线性相关。单侧最不利工况动力系数为1.3，双侧最不利工况动力系数为1.4时，等效静力法计算得到桥墩水平推力结果与动力计算结果一致。
图9桥墩水平推力在不同动力系数下效应比率
Fig.9The effect ratio of horizontal thrust on bridge piers under different dynamic coefficients
系杆断裂后桥墩面内弯矩效应比率如图10所示。可以看出，桥墩面内弯矩效应比率与动力放大系数μD呈线性相关。单侧最不利工况动力系数为1.3，双侧最不利工况动力系数为1.6时，等效静力法计算得到桥墩面内弯矩结果与动力计算结果一致。
图10桥墩面内弯矩在不同动力系数下效应比率
Fig.10The effect ratio of in-plane bending moment on bridge pier surface under different dynamic coefficients
4.3 考虑墩顶水平位移动力响应的μD取值
系杆断裂后墩顶水平位移效应比率如图11所示。可以看出，墩顶水平位移效应比率与动力放大系数μD呈线性相关。单侧最不利工况动力系数为1.4，双侧最不利工况动力系数为1.6时，等效静力法计算得到墩顶水平位移与动力计算结果一致。
图11墩顶水平位移在不同动力系数下效应比率
Fig.11The effect ratio of horizontal displacement of arch pier nodes under different dynamic coefficients
4.4 考虑端横梁动力响应的μD取值
端横梁响应仅考虑单侧系杆断索最不利工况，系杆断裂后端横梁内力响应的效应比率如图12所示。可以看出，动力放大系数μD与端横梁响应效应比率呈线性相关。单侧最不利工况下端横梁扭矩和剪力动力系数为1.3时，等效静力法计算得到端横梁内力响应与动力计算结果一致。
图12端横梁在不同动力系数下效应比率
Fig.12Effect ratio of end beam under different dynamic coefficients
4.5 动力系数μD取值讨论
将系杆断裂后刚架系杆拱桥各部件动力系数汇总于表6，取包络值得到单侧系杆断索动力系数为1.4，双侧断索动力系数为1.6。单侧系杆断裂情况下，等效静力法取动力系数μD=1.4，计算得到各部件响应极值，与动力计算结果对比，汇总于表7。可以看出，各控制指标误差不超过2.6%。双侧系杆断裂情况下，等效静力法取动力系数μD=1.6，计算得到各部件响应极值，与动力计算结果对比，汇总于表8。可以看出，各控制指标误差不超过1.9%。因此，采用考虑系杆断裂动力效应的刚架系杆拱桥等效静力法计算时，建议单侧断索动力系数取1.4，双侧断索动力系数取1.6。
表6系杆断裂时各构件动力系数对比
Tab.6Comparison of dynamic coefficients of various components when the tie rod fracture
表7单侧系杆断裂各部件响应极值对比
Tab.7Comparison of extreme response values of various components for single side tie rod fracture
表8双侧系杆断裂部件响应极值对比
Tab.8Comparison of extreme response values of various components for double side tie rod fracture
5 结论
1）建立了刚架系杆拱桥单侧系杆和双侧系杆断裂情况下，系杆断裂数量静力计算方法。与系杆断裂模型试验对比，验证了建立的有限元模型和等效荷载瞬时卸载法可较准确地模拟系杆断裂动力效应，能够推广应用于考虑系杆断裂过程的钢管混凝土刚架系杆拱桥动力响应分析。
2）考虑动力效应后的剩余系杆应力大于静力理论计算结果，需要考虑系杆断裂动力效应影响。系杆应作为刚架系杆拱桥断索动力分析主要构件，桥墩面内弯矩和墩顶水平位移可作为辅助分析指标。单侧系杆断裂情况下，断索侧墩顶位移较大，非断索侧墩顶位移很小，端横梁产生剪力和扭矩，双侧断裂情况下，断索侧端横梁不产生扭矩，拱肋轴力减小，桥墩面外弯矩变化不明显。等效静力分析中可不考虑端横梁、拱肋和桥墩面外弯矩影响。
3）采用考虑系杆断裂动力效应的刚架系杆拱桥等效静力法计算时，建议单侧断索动力系数取1.4，双侧断索动力系数取1.6。本文结论是根据有限的模型试验和一座桥例分析得到的，未来还需开展更多桥例分析，进一步完善考虑系杆断裂动力效应的动力系数取值。
