Application of repetitive control strategy with variable frequency adaptability in SAPF

doi:10.11918/202309075

具有变频适应性的重复控制策略在SAPF中的应用

doi: 10.11918/202309075

高峰，白志峰

西安建筑科技大学机电工程学院，西安 710055

基金项目: 陕西省自然科学基础研究计划（2021JM-363）

详细信息

作者简介

高峰(1975—)，男，博士，讲师；

白志峰(1974—)，男，博士，讲师

通讯作者

高峰，world_gao@163.com

中图分类号: TM71

文献标识码: A

文章编号: 0367-6234(2025)09-0109-12

Application of repetitive control strategy with variable frequency adaptability in SAPF

GAO Feng ， BAI Zhifeng

School of Mechanical and Electrical Engineering, Xi′an University of Architecture and Technology, Xi′an 710055 , China

摘要

为提高电网频率波动条件下并联型有源电力滤波器（shunt active power filters，SAPF）的补偿电流跟踪控制精度，有效抑制电网的谐波污染，提出一种具有变频适应性的重复控制策略。采用可调整采样频率的选择性重复控制器构建多采样率重复控制系统，利用基于拉格朗日线性插值法的有限脉冲响应（FIR）滤波器将多采样率重复控制系统转换成具有统一采样频率的重复控制系统（frequency-adaptive uniform-rate selective repetitive control system，FUSRCS），通过跟随电网频率调整重复控制器延迟环节近似表达式系数的方法使FUSRCS能适应电网频率波动，设计了FUSRCS的补偿器，分析了FUSRCS的稳定性、收敛性和稳态误差，建立了三相SAPF的数学模型，依据实际数据设计了基于FUSRCS的补偿电流复合重复控制系统。仿真和实验结果表明:基于FUSRCS的SAPF能够在电网频率存在稳态偏差、电网频率动态变化和负载切换等情况下，保持较高的补偿电流跟踪精度和较好的补偿效果。与经典重复控制相比，FUSRCS在具有变频适应性的同时，减少了控制系统的计算负担，提高了系统的动态响应速度，解决了多采样率重复控制系统带来的问题。

关键词

有源电力滤波器 / 重复控制 / 电流跟踪 / 谐波抑制 / 频率波动

Abstract

To improve the accuracy of compensating current tracking control for shunt active power filters (SAPF) under the condition of grid frequency fluctuation and suppress the harmonic pollution of power grid effectively, a frequency-adaptive repetitive control strategy is proposed in this paper. A multi-rate repetitive control system is built based on a selective repetitive controller with an adjustable sampling rate. The multi-rate repetitive control system is transformed into a frequency-adaptive uniform-rate selective repetitive control system (FUSRCS) by a finite impulse response (FIR) filter based on Lagrange linear interpolation. To enable the FUSRCS to adapt to grid frequency fluctuations, the coefficients of the approximate expression of the delay link in the repetitive controller are adjusted according to the grid frequency. The compensator is designed and the stability, convergence and steady-state error of FUSRCS are analyzed. The mathematical model of three-phase SAPF is established, and a compensation current compound repetitive control system based on FUSRCS is designed according to the actual data. Simulation and experimental results indicate the SAPF based on FUSRCS can maintain high compensation current tracking accuracy and good compensation effect under steady-state grid frequency deviations, dynamic grid frequency variations, and load switching. Compared with conventional repetitive control, FUSRCS not only offers frequency adaptability, but also reduces the computational burden of the control system, enhances the dynamic response speed, and solves the problems caused by multi-rate repetitive control systems.

Keywords

active power filters / repetitive control / current tracking / harmonic suppression / frequency fluctuation

1 参考信号频率变化对经典重复控制的影响 2 具有变频适应性和统一采样频率的选择性重复控制策略 2.1 可调整采样周期的选择性重复控制器 2.2 具有统一采样率的选择性重复控制系统 2.3 FUSRCS的补偿器设计 2.4 FUSRCS的稳定性分析 2.5 FUSRCS的收敛性分析 2.6 FUSRCS的稳态误差分析 3 基于FUSRCS的SAPF的控制 3.1 SAPF的数学模型 3.2 变频条件下基于FUSRCS的SAPF控制系统 4 仿真和实验结果 4.1 仿真分析 4.2 实验结果 5 结论

越来越多的非线性负载（如开关电源、整流器、并网逆变器、变压器和电机等）给电力系统带来了越来越严重的谐波污染。谐波电流不仅增加了无功损耗，使电压波形畸变，还会导致计量设备故障，并可能引起谐振和干扰^[1]。由于并联型有源电力滤波器（shunt active power filters，SAPF）能够动态抑制谐波电流，且具有较好的补偿性能^[1]，因此已成为电力系统最有效的谐波抑制工具之一。对于SAPF，输出电流对指令电流的跟踪精度是决定其补偿效果的关键因素之一^[2]。

为了实现SAPF优质的电流跟踪控制，除了传统的PI控制、滞环控制和死区控制等方法外，无源控制、谐振控制、无差拍控制、预测控制、滑模控制和自适应控制等现代控制方法都被应用到SAPF电流控制中^[2-7]。由于SAPF的指令电流是由多次谐波成分叠加而成的周期信号，因此基于内模原理，稳态性能极佳的重复控制方法对于实现SAPF的高精度电流跟踪控制有很好的效果^[8-10]。然而，重复控制对指令信号的频率或周期变化非常敏感^[11]。在某些情况下，如在弱电网或微电网离网运行时，受分布式发电出力和负荷变动的影响，电网频率可能出现较大波动^[12-13]，此时经典重复控制的稳态性能将显著下降。为了解决这个难题，学者们提出了多种提高重复控制对频率变化适应性的改进方法。Herran等^[14]提出了利用一种可变采样周期的滤波器锁相环实现重复控制系统对频率变化的适应。然而，时变的采样周期导致系统变为时变系统，增加了控制系统不稳定性和在线调整的难度。Liu等^[15]提出了一种并联分支结构的分数阶重复控制器，使其低频段极点重新回到谐波频率处，部分保证了谐振频率处的高增益。然而，这种方法只保证了重复控制低频段的高增益，而中高频段的增益无法保障，同时构建的重复控制系统的极点数量激增，系统结构相当复杂。Kolluri等^[16]提出了一种由空间梳式滤波器（SCF）和空间重复控制器（SRC）组成的控制策略，以抑制循环电流中不依赖于交流母线频率的偶次谐波。该控制器提高了自适应滤波器和自适应SRC在变频运行时的抗周期性干扰能力。然而，SRC的性能在很大程度上取决于基本空间相位的设计，并且随着交流母线频率的变化，控制对象的模型也会发生变化。

为了避免采样周期变化对控制对象的影响，一些学者采用固定的采样周期，从非整数N中分离出小数部分，通过某种方法对分数阶延迟环节进行近似表达，提出了多种具有频率适应性的分数阶重复控制方法。Zou等^[17]提出了一种具有频率适应性的分数阶重复控制器，采样频率固定，仅通过线性插值法将分数阶延时环节近似为一系列整数延时环节的累加。Cui等^[18]提出了将有限脉冲响应（FIR）滤波器与分数阶延时环节串联组成的具有频率适应性的重复控制系统。Chen等^[19]提出了一种改进的基于离散傅里叶变换的重复控制器，通过拉格朗日插值法对分数阶内模延时环节进行近似，实现了固定采样频率下的变频适应性。Li等^[20]提出了一种低通FIR可变分数阶延迟滤波器，以替代传统分数阶重复控制方案中采用的传统插值方法，该滤波器的系数作为分数阶延迟的函数进行解析计算，使其适用于所有频率的轨迹。Ye等^[21]在固定采样频率的前提下，提出采用Thrian全通滤波器近似分数阶延迟环节，提高了比例重复控制系统的变频适应性。然而，如果参考信号频率的变化导致分数阶延迟长度超出规定的范围，分数阶延迟方法无法提供准确的补偿^[22]。

本文利用多采样率重复控制系统，提出一种能够适应电网频率变化，具有统一且固定的采样频率的选择性重复控制策略。首先，该策略利用可随电网频率调整采样频率的重复控制器，使每个信号周期的采样次数始终为整数，同时固定了控制对象的采样频率。其次，利用拉格朗日线性插值法将多采样率系统转换为统一采样频率的系统，通过调整重复控制器延迟环节近似表达式的系数，让重复控制器能够适应电网频率的变化。最后，与经典重复控制相比，采用选择性重复控制内模既满足了谐波抑制的要求，又减轻了控制系统的计算负担，提高了系统的动态响应速度。仿真和实验验证所提策略的有效性和优越性。

1 参考信号频率变化对经典重复控制的影响

图1显示了采用插入式结构的经典重复控制系统（CRCS）。其中，G_p（z）是控制对象，G_c（z）是反馈控制器，补偿器G_f（z）用于重复控制系统幅值和相位的补偿，L（z）是重复控制器的输出，D（z）代表外界扰动，R（z）是系统参考或指令信号，Y（z）是系统输出，跟踪误差E（z）=R（z）-Y（z），G_m（z）是经典的重复控制器，其脉冲传递函数：

G_{m} (z) = k_{r} \frac{z^{- N} Q (z)}{1 - z^{- N} Q (z)} G_{f} (z)

(1)

N = \frac{T_{r}}{T_{s}} = \frac{f_{s}}{f_{r}}

(2)

式中：z^-N为延迟环节，Q（z）为低通滤波器，k_r为重复控制的增益，N为在每个参考信号周期的采样次数，T_s和f_s分别为重复控制系统的采样周期和采样频率，T_r和f_r分别为系统参考信号的周期和频率。

图1经典重复控制系统

Fig.1Conventional repetitive control system

当N是整数且Q（z）=1时，经典重复控制可实现对奈奎斯特频率以下的所有次谐波分量的无静差跟踪。实际中，为了增强系统的鲁棒性，Q（z）通常采用小于且接近于1的数，或采用低通滤波器，如Q（z）=a₁z+a₀+a₁z-1且2a₁+a₀=1。

当f_s固定，f_r的变化导致N为非整数时，若只对N进行简单取整，延时环节变为z^-[^N^]（[N]为N取整后的整数），此时极点频率将偏离谐波频率，使谐波频率处的增益大幅度衰减，导致经典重复控制稳态性能严重受损。

图2展示了不同基波频率下CRCS内模的幅频特性（采样频率取10 kHz）。其中，幅频特性的峰值对应的频率即为内模的极点频率。从图2可看出：当f_r=50 Hz时，N为整数，此时的三次极点频率与三次谐波频率f_3h相等；而当f_r=48 Hz或f_r=52 Hz时，N为非整数，经简单取整后，两个基波频率下的三次极点频率相对于三次谐波频率发生了偏移，导致经典重复控制在谐波频率处的增益大幅度衰减。

图2不同基波频率下CRCS内模的幅频特性

Fig.2Magnitude-frequency characteristics of CRCS′s internal model under different fundamental frequencies

2 具有变频适应性和统一采样频率的选择性重复控制策略

2.1 可调整采样周期的选择性重复控制器

为了使重复控制器能在参考信号频率变化时，保证每个参考信号周期的采样次数不出现非整数。本文对重复控制器采用可变的采样周期T_c，同时为了避免采样周期变化对控制对象的影响，反馈控制器和控制对象则采用固定的T_s。另外，针对电力系统谐波的特点，采用选择性重复控制内模缩减谐波抑制范围，并提高动态响应速度。因此，构建了如图3所示的可调整采样周期的多采样率选择性重复控制系统。

在此系统中，两个采样周期均应满足以下公式^[20]：

(3)

式中N′为重复控制器在每个参考信号周期的采样次数。为了保证N′为整数，本文取

(4)

式中[N/2]为对N/2取整。

根据式（3）、（4），图3中T_c为

T_{c} = \frac{N}{[\frac{N}{2}]} T_{s}

(5)

设c为T_c与T_s之间的转换系数，则

c = \frac{N}{[\frac{N}{2}]}

(6)

图3可调整采样周期的选择性重复控制系统

Fig.3Selective repetitive control system with adjustable sampling period

图4展示了图3所示的多采样率重复控制系统的采样情况。当参考信号周期由T_r1变为T_r2时，重复控制器的采样周期可由T_c1调整为T_c2。每个参考信号周期的采样次数则由[N₁/2]变为[N₂/2]，但始终可以保持为整数。 T_s始终固定不变。

图4多采样率重复控制系统的采样

Fig.4Sampling diagram of multi-rate repetitive control systems

由式（5）和图4可知，无论T_r如何变化，只要依据式（5）设计T_c，均可保证重复控制器在每个参考周期的采样次数始终为整数。同时，为了不削弱系统的稳定性，降低在线调整难度，控制对象和反馈控制器采用固定的T_s。这样就解决了重复控制在参考信号周期变化时遇到的问题。

然而，可调整重复控制器采样周期的重复控制系统在设计重复控制补偿器时会遇到一些问题。例如，将根据G_p（z）和G_c（z）设计的采样周期为T_s的补偿器G_f（z）转换到采样周期为T_c的重复控制器G_m（z_c）中时，需要进行以下转换。

z_{c} = e^{s T_{c}} = e^{s c T_{s}} = z^{c}

(7)

根据式（6）可知，转换系数c很可能是非整数（如当f_s=10 kHz、f_r=48 Hz时，N≈208.33、c≈2.003 2）。这将导致转换到重复控制器中的补偿器G_f（z_c）中又会含有分数阶的z^p_c（p为非整数），使重复控制系统复杂化。因此，本文在可调整采样周期的重复控制系统的基础上，提出了一种具有变频适应性和统一采样率的重复控制策略。

2.2 具有统一采样率的选择性重复控制系统

本文提出了采用拉格朗日线性插值法来近似表示z^-1_c，以实现多采样率重复控制系统到具有变频适应性和统一采样率系统的转换。

z_{c} = z^{c} = z^{\frac{T_{c}}{T_{s}}} = z^{\frac{N}{[\frac{N}{2}]}}

(8)

z_{c}^{- 1} = z^{- c} = z^{- \frac{T_{c}}{T_{s}}} = h (z)

(9)

(10)

(11)

式中：D和d分别为c=T_c/T_s的整数和小数部分；n为线性插值近似表达式的阶数，正整数；k=0，1，2，···，n；a_k为近似表达式的系数。

图5为式（10）所示的线性插值表达式在不同阶数n下的幅频特性（D=2，d=0.1~0.9）。对比图5可知，n=3时，在带宽范围内，即低频段，线性插值表达式的幅值比n=2和n=1时的幅值更接近1，说明高阶数的线性插值表达式有更优的低频近似度^[17-18]。而且，n=3时的线性插值表达式的带宽（74.8%f_N，f_N为奈奎斯特频率）也明显大于n=2时的带宽（63.4%f_N）和n=1时的带宽（50.0%f_N）。然而，由式（10）可知，随着n的增大，表达式的项数会增多，表达式的复杂度和计算量也变大。因此，折中考虑线性插值表达式的近似度和复杂度，本文取n=3。

通过式（9）~（11），可得到z^-1_c的线性插值近似表达式。

图6为采样频率为10.0 kHz，参考信号基波频率在49.0~51.0 Hz、以0.2 Hz步长变化时，z^-1_c的近似表达式的幅频特性。由于49.0、51.0 Hz时对应的T_c值相同，因此，两个频率对应的幅频特性曲线重合。由于参考信号频率为50.0 Hz时，N为整数， z^-1_c=z^-1，因此其对数幅频特性为0。从图6还可看出，相差1.0 Hz的两频率对应的幅频特性均比较接近。

图5不同阶数下近似表达式的幅频特性

Fig.5Magnitude-frequency characteristics of approximate expression under different orders

图6不同频率下近似表达式的幅频特性

Fig.6Magnitude-frequency characteristics of approximate expression under different frequencies

利用z^-1_c的近似表达式对图3所示的多采样率选择性重复控制系统进行转换，可得到如图7所示的具有变频适应性和统一采样频率的选择性重复控制系统（frequency-adaptive uniform-rate selective repetitive control system，FUSRCS）。

图7具有变频适应性和统一采样频率的选择性重复控制系统

Fig.7Frequency-adaptive uniform-rate selective repetitive control system

在FUSRCS中，重复控制器的延时环节转换为

(12)

重复控制器的低通滤波器转换为

(13)

重复控制系统的补偿器转换为

(14)

当电网频率波动时， T_r也随之变化。为了保证每个指令周期的采样次数为整数[N/2]，依据式（5）同步调整T_c。根据式（9）~（11）得到z^-1_c的近似表达式，并不断更新其系数a_k，最终使FUSRCS具有适应电网频率变化的能力。

对比图3、7可以看出，两种系统均具有变频适应性。且两种系统的控制对象均采用了固定的采样频率，避免采样周期变化对控制对象的影响。但是本文提出的FUSRCS在以下方面更具优势：

1）在变频适应性方面，调整采样周期的重复控制系统需要不断调整T_c实现适应性，非整数的转换系数将导致系统在采样和补偿器设计方面较复杂^[23]。而FUSRCS只需要不断更新式（10）表达式的系数即可实现对电网频率变化的适应，更加便捷。

2）在结构方面，可调整采样周期的选择性重复控制系统属于多采样率重复控制系统。不同采样频率的部分间必须加入采样和保持环节（图3中的S₁和S₂环节）来实现不同采样频率间的转换，这样增加了系统的环节和复杂性。而具有统一采样频率的FUSRCS在结构上更简单。

3）在补偿器方面，可调整采样周期的选择性重复控制系统遇到的问题（如2.1节所述）在FUSRCS中可以避免，因此FUSRCS补偿器的设计更简便。

另外，需要注意两点：

1）FUSRCS不止针对特殊的重复控制器，对一般重复控制系统同样适用。

2）当采样次数N是整数时，根据式（5），T_c=2T_s、N′=N/2，FUSRCS将变为单采样率控制系统，因此z_c=z，即此时FUSRCS转换为经典重复控制系统。

2.3 FUSRCS的补偿器设计

插入重复控制器前的反馈控制系统的脉冲传递函数H（z）^[16]为

H (z) = \frac{G_{c} (z) G_{p} (z)}{1 + G_{c} (z) G_{p} (z)} = \frac{z^{- g} B^{+} (z^{- 1}) B^{-} (z^{- 1})}{A (z^{- 1})}

(15)

式中：g为实数，为反馈控制系统的延迟步数；B⁺（z^-1）、B^-（z^-1）分别为H（z）分子多项式中可抵消部分、不可抵消部分；A（z^-1）为H（z）的分母多项式，即反馈控制系统的特征多项式。

为了获得零相位补偿，可在多采样率控制系统中，将补偿器设计^[17]为:

G_{f} (z_{c}) = k_{r} \frac{z_{c}^{g} A (z_{c}^{- 1}) B^{-} (z_{c}^{- 1})}{B^{+} (z_{c}^{- 1}) b}

(16)

b ⩾ {‖B^{-} [h (z)]‖}^{2}

(17)

式中：k_r为补偿器的系数，且0＜k_r＜2；b为系数。

根据式（9）和（14），则FUSRCS的补偿器为

(18)

2.4 FUSRCS的稳定性分析

对于FUSRCS，整个系统的开环脉冲传递函数G_o（z）为

(19)

根据FUSRCS的结构，可以推导出整个系统的误差脉冲传递函数为

(20)

若使FUSRCS渐进稳定，必须满足两个条件^[17-18]：

1）1+G_c（z）G_p（z）=0的根在单位圆内，即插入重复控制器前的反馈控制系统稳定。

2）1-Q′（z）G′（z）[1-G′_f（z）H（z）]=0的根也在单位圆内。

由分析可知，只要适当选取反馈控制器G_c（z）的控制参数，即可保证稳定条件1）成立。

根据稳定条件2）要求，可推导出

(21)

分析式（21）可知，只要满足

(22)

则可保证稳定条件2）成立，即系统误差脉冲传递函数的特征方程的根均在单位圆内。

由式（22）可推导出

(23)

综上所述，只要合理选择反馈控制器和重复控制器的参数，可以保证FUSRCS的稳定性。

2.5 FUSRCS的收敛性分析

如图8所示，忽略外界干扰影响，假设重复控制器内模延迟环节的输入为U_k₊₁（z），内模输出为U_k（z），其中k表示重复周期数，U_k（z）比U_k₊₁（z）滞后一个重复周期（T_r/2）。E_k₊₁（z）和E_k（z）分别表示第k+1和第k个重复周期的误差，V_k₊₁（z）为反馈控制器G_c（z）的输入，R_k₊₁（z）和Y_k₊₁（z）分别表示第k+1个重复周期的参考输入和系统输出。

图8用于收敛性分析的FUSRCS

Fig.8FUSRCS for convergence analysis

按照图7中的信号顺序，可列出

(24)

由式（18）和式（24）的后3个公式可推出

(25)

由式（24）的第1个公式和式（25）可推出

(26)

根据式（24）的第1个公式和式（26），通过递推方法可推出

(27)

由式（27）可推出

(28)

由式（24）的第1个公式和式（26）还可以推出

(29)

由于控制系统达到稳定后，稳态误差可视为一个不变的量^[24]，可表示为

R_{k + 1} (z) = R_{k} (z)

(30)

根据式（28）~（30）可推出

(31)

根据式（31），如果0＜C（z）＜1，则系统收敛，且C（z）越小，系统收敛越快。因此，可进一步推出

(32)

由此可知，当式（32）成立时，FUSRCS收敛，且k_rH（z）G′_f（z）越接近于1，系统收敛越快。

2.6 FUSRCS的稳态误差分析

根据图7，FUSRCS的误差脉冲传递函数为

(33)

系统在重复控制器加入前的误差脉冲传递函数为

S_{0} (z) = \frac{E (z)}{R (z)} = \frac{1}{1 + G_{c} (z) G_{p} (z)}

(34)

根据式（33）和式（34）可以推出

(35)

式中A（z）为增益函数。A（z）在角频率ω_k=kω₀（ω₀为基波角频率）处的幅值为

(36)

根据式（9）和（12），可知

G^{'} (e^{j ω_{k} T_{s}}) \approx 1

，因此，在k次谐波频率处有

(37)

根据式（37），当

Q^{'} (e^{j ω_{k} T_{s}}) \to 1

时，|A（ω_k）|→0，则系统的稳态误差趋近于0，而且

Q^{'} (e^{j ω_{k} T_{s}})

越接近于1，稳态误差越小。

3 基于FUSRCS的SAPF的控制

3.1 SAPF的数学模型

三相三线制电力系统中的SAPF系统结构如图9所示。三相交流相电压分别为V_sa、V_sb和V_sc，非线性负载采用典型的三相不可控整流桥接LC滤波（L_d和C_L），再接电阻负载R_L构成。SAPF主电路采用三相三桥臂的结构， T₁~T₆为功率开关器件，C_o、V_dc分别为直流侧电容、电压。i_ca、i_cb 和i_cc分别为a、b和c相的补偿电流。SAPF三相的输出滤波电感均L，其等效电阻均为R。

图9SAPF系统的结构

Fig.9Schematic diagram of SAPF

设s_i为开关函数，i代表a，b，c，则

s_{i} = \{\begin{matrix} 1, 第 i 桥 臂 上 管 通 且 下 管 断 \\ 0, 第 i 桥 臂 上 管 断 且 下 管 通 \end{matrix}

(38)

根据基尔霍夫电压和电流定律，可得SAPF系统在三相静止坐标系下的数学模型：

\{\begin{matrix} L \frac{d}{d t} [\begin{matrix} i_{c a} \\ i_{c b} \\ i_{c c} \end{matrix}] + R [\begin{matrix} i_{c a} \\ i_{c b} \\ i_{c c} \end{matrix}] = [\begin{matrix} V_{s a} \\ V_{s b} \\ V_{s c} \end{matrix}] - [\begin{matrix} \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} s_{a} \\ s_{b} \\ s_{c} \end{matrix}] V_{d c} \\ C_{o} \frac{d V_{d c}}{d t} = [\begin{matrix} s_{a} \\ s_{b} \\ s_{c} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{c a} \\ i_{c b} \\ i_{c c} \end{matrix}] \end{matrix}

(39)

将式（39）进一步转换成旋转dq坐标系下的数学模型：

\{\begin{matrix} L \frac{d}{d t} [\begin{matrix} i_{c d} \\ i_{c q} \end{matrix}] + R [\begin{matrix} i_{c d} \\ i_{c q} \end{matrix}] = [\begin{matrix} V_{s d} \\ V_{s q} \end{matrix}] - [\begin{matrix} s_{d} \\ s_{q} \end{matrix}] V_{d c} + [\begin{matrix} 0 & ω L \\ - ω L & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{c d} \\ i_{c q} \end{matrix}] \\ C_{o} \frac{d V_{d c}}{d t} = \frac{3}{2} {[\begin{matrix} s_{d} \\ s_{q} \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} i_{c d} \\ i_{c q} \end{matrix}] \end{matrix}

(40)

进一步设

[\begin{matrix} u_{r d} \\ u_{r q} \end{matrix}] = [\begin{matrix} V_{s d} \\ V_{s q} \end{matrix}] - [\begin{matrix} s_{d} \\ s_{q} \end{matrix}] V_{d c} + [\begin{matrix} 0 & ω L \\ - ω L & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{c d} \\ i_{c q} \end{matrix}]

(41)

将式（41）代入式（40），得到解耦后d轴和q轴电流相互独立的数学模型，可实现电流I_d和I_q的独立控制。

3.2 变频条件下基于FUSRCS的SAPF控制系统

基于FUSRCS的SAPF的控制系统如图10所示。其中，锁相环（PLL）可实时测量电网电压的频率。自适应指令电流生成器^[25]可在电网频率波动情况下，准确生成补偿指令电流，并构成SAPF直流侧电压外环控制（如PI控制）。

图10基于FUSRCS的SAPF的控制系统

Fig.10Control system of SAPF based on FUSRCS

图11为基于FUSRCS的d轴补偿电流复合重复控制系统。其中，d轴电流跟踪误差E_d（z）=I^*_d（z）-I_d（z）。SAPF系统的数学模型为

G_{p} (z) = Z [\frac{K_{M}}{(τ_{s} s + 1) (τ_{f} s + 1) (L s + R)}]

(42)

式中：Z为z变换，τ_s为功率变换器的延时，τ_f为滤波和采样的延时，K_M为SAPF变换器的放大倍数。

为简化系统结构，反馈控制器G_c（z）采用简单的比例控制，以弥补重复控制的固有延迟和较差的动态性能，即

G_{c} (z) = k_{w}

(43)

式中k_w为比例控制系数。

重复控制器的低通滤波器采用小于且接近于1的数，即

(44)

式中k_f为衰减系数，且0＜k_f＜1。

图11基于FUSRCS的d轴补偿电流复合重复控制

Fig.11Compound repetitive control of d-axis compensation current based on FUSRCS

4 仿真和实验结果

为了验证提出的FUSRCS的正确性和有效性，本文建立了模拟电网频率变化情况下的SAPF系统的仿真模型和实验平台。实验平台采用可变频输出的电网模拟源模拟电网变频信号，实验平台如图12所示，SAPF系统的主要参数见表1。

图12三相SAPF系统的实验平台

Fig.12Experimental platform of three-phase SAPF system

表1SAPF系统的主要参数

Tab.1Main parameters of SAPF

4.1 仿真分析

输出滤波电感等效电阻R=0.1 Ω，τ_s=10-4 s，τ_f=5×10^-5 s，则

G_{p} (z) = \frac{0.003264 z^{2} + 0.006607 z + 0.0007309}{z^{3} - 1.498 z^{2} + 0.5505 z - 0.0495}

(45)

电流内环重复控制的参数选取：k_r=1.2，k_f=0.95，k_w=27；电压外环PI控制参数选取：k_p=480，k_i=8.5。

图13为比例控制与控制对象组成的原始反馈控制系统的根轨迹图（反馈控制系统的反馈增益取1）。由图13可知，未加入重复控制之前，原始反馈控制系统的闭环脉冲传递函数的特征根均位于单位圆内，即原始反馈控制系统稳定。

图13原始反馈控制系统的根轨迹图

Fig.13Root locus of the original feedback control system

图14、15分别展现了f_r=48 Hz和f_r=52 Hz时，即实际电网频率与标称频率存在稳态偏差情况下，基于FUSRCS和CRCS的补偿电流跟踪波形和跟踪误差比较。

当f_r=48 Hz时，N≈208.3，N为非整数。对比图14（a）、（b）可知：当n=3，基于FUSRCS的电流跟踪，除了在指令电流变化率的极大处出现难以消除的误差尖峰外，其余处I_ca能够较紧密地跟踪指令电流，跟踪误差较小；当n=2时，由于线性插值表达式的近似度降低，基于FUSRCS的电流跟踪效果略有下降，误差略有增大。因此，结合理论分析和仿真结果，n取3较合适。对比图14（a）和（c）可知，基于CRCS的补偿电流跟踪效果出现了明显的下降，跟踪误差明显增大。

当f_r=52 Hz时，N≈192.3，N也为非整数。由图15可以看出，与基于CRCS的补偿电流跟踪相比，基于FUSRCS的I_ca可以较紧密地跟踪指令电流，跟踪误差较小。

图14f_r=48 Hz时基于FUSRCS和CRCS的补偿电流跟踪波形和跟踪误差

Fig.14Waveforms of compensation current tracking and tracking errors based on FUSRCS and CRCS as f_r=48 Hz

以上结果说明了在电网频率出现偏差时，相比经典重复控制策略，本文提出的FUSRCS具有较好的变频适应性，能够在电网频率出现较大偏差时保持较好的补偿电流跟踪效果。

4.2 实验结果

图16为f_r=48 Hz时，基于FUSRCS的SAPF系统的中V_sa和I_La的实验波形。图17、18分别为f_r=48 Hz时，基于FUSRCS、CRCS的SAPF系统的V_sa、I_sa和I_ca的实验波形。表2为f_r=48 Hz时，基于FUSRCS和CRCS的I_sa的谐波总畸变率（total harmonic distortion，THD）的对比。

图15f_r=52 Hz时基于FUSRCS和CRCS的补偿电流跟踪波形和跟踪误差

Fig.15Waveforms of compensation current tracking and tracking errors based on FUSRCS and CRCS as f_r=52 Hz

图16f_r=48 Hz时基于FUSRCS的V_sa和I_La的波形

Fig.16Waveforms of V_sa and I_L_a based on FUSRCS as f_r=48 Hz

图17f_r=48 Hz时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.17Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on FUSRCS as f_r=48 Hz

图18f_r=48 Hz时基于CRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.18Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on CRCS as f_r=48 Hz

表2f_r=48 Hz时不同控制系统I_sa的THD对比

Tab.2THDs of I_sa in different control system as f_r=48 Hz

由图16可知，当f_r处于稳态48 Hz时，SAPF系统的I_La畸变严重。由于这个电流波形也可以反映接入SAPF系统前入网电流的波形，因此可知在未接入SAPF系统前，进入电网的电流含有大量谐波，波形畸变严重，不能满足要求。

由图17、18和表2可知，f_r处于稳态48 Hz时，基于FUSRCS的SAPF系统的I_sa波形虽然有毛刺，但基本呈现正弦，I_sa的THD值较小，与V_sa基本同相；而基于CRCS的I_sa波形畸变较大，THD值相对较大，且与V_sa出现了略微的相位偏差。图17、18中电网电流波形中尖峰毛刺是由于在补偿电流指令变化率过大处，补偿电流难以紧密跟踪所导致的。

图19为f_r=52 Hz时，基于FUSRCS的SAPF系统的V_sa和I_La的实验波形。图20、21分别为f_r=52 Hz时，基于FUSRCS、CRCS的SAPF系统的V_sa、I_sa和I_ca的实验波形。表3为f_r=52 Hz时，基于FUSRCS和CRCS的I_sa的THD值对比。

图19f_r=52 Hz时基于FUSRCS的V_sa和I_La的波形

Fig.19Waveforms of V_sa and I_La based on FUSRCS as f_r=52 Hz

图20f_r=52 Hz时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.20Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on FUSRCS as f_r=52 Hz

图21f_r=52 Hz时基于CRCS的V_sa、I_ca和I_sa的波形

Fig.21Waveforms of V_sa, I_ca and I_sa based on CRCS as f_r=52 Hz

表3f_r=52 Hz时不同控制系统I_sa的THD对比

Tab.3THDs of I_sa in different control system as f_r=52 Hz

由图19可知，当f_r处于稳态52 Hz时，SAPF系统的I_La畸变严重，表明在未接入SAPF系统前，进入电网的电流含有大量谐波，不能满足要求。

由图20、21和表3可知，当f_r处于稳态52 Hz时，与基于CRCS的电网电流相比，基于FUSRCS的I_sa波形的THD值更小，而且I_sa与V_sa基本同相；而基于CRCS的I_sa波形畸变较大，THD值相对较大，且与V_sa也出现了略微的相位偏差。

以上分析说明，在电网频率与标称频率存在稳态偏差时，基于CRCS的SAPF系统的谐波补偿效果明显变差，而基于FUSRCS的谐波补偿效果较好，能够适应电网频率的稳态偏差。

图22、23分别为f_r快速上升和快速下降过程中，基于FUSRCS的SAPF系统的V_sa、I_sa和PLL检测频率输出f_r的实验波形。表4为图22、23所示的f_r在上升前后和下降前后，稳定的I_sa的THD对比。其中THD1、THD2分别代表f_r上升或下降前的I_sa的THD值、 f_r上升或下降稳定后的I_sa的THD值。

图22f_r上升时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和f_r波形

Fig.22Waveforms of V_sa, I_sa and f_r based on FUSRCS when f_r rises

图23fr下降时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和f_r波形

Fig.23Waveforms of V_sa, I_sa and f_r based on FUSRCS when f_r drops

表4电网频率变化时I_sa的THD对比

Tab.4THDs of I_sa when the grid frequency changes

由图22、23和表4可知，由PLL检测的频率输出经过上升或下降、振荡、最后稳定。在f_r快速变化的过渡过程中，基于FUSRCS的I_sa波形有略微的畸变，但当f_r基本稳定后，I_sa的波形恢复并符合要求，f_r变化前后I_sa与V_sa均保持同相。说明提出的FUSRCS能够适应电网频率的快速且频繁的变化，在频率变化前后保持较好的补偿效果。

图24为f_r=48 Hz时，负载切换过程中，基于FUSRCS的SAPF系统的V_sa和I_sa的实验波形。表5为图24中负载切换前后I_sa的THD对比。

图24R_L切换时基于FUSRCS的V_sa和I_sa波形

Fig.24Waveforms of V_sa and I_sa based on FUSRCS during R_L switching

表5负载切换前后I_sa的THD对比

Tab.5THDs of I_sa during load switching

由图24和表5可知，负载切换过程中，I_sa经过短暂的过渡过程后，电流幅值降低，畸变略有增加，但符合要求。说明基于FUSRCS的SAPF系统能够适应负载的切换，保持较好的谐波抑制效果。

5 结论

本文在多采样率重复控制系统的基础上，提出了一种能够适应电网频率变化，具有统一且固定的采样频率的选择性重复控制策略。主要结论如下：

1）提出的FUSRCS通过调整线性插值表达式的系数，可使重复控制能够适应电网频率的大范围波动。FUSRCS解决了可调整采样周期的重复控制系统在实际应用中遇到的问题。

2）仿真和实验结果证明了基于FUSRCS的SAPF系统能够在电网频率存在稳态偏差、电网频率动态变化和负载切换等情况下，保持较高的补偿电流跟踪精度和较好的补偿效果。

3）对比经典重复控制，FUSRCS在具有变频适应性的同时，减少了控制系统的计算负担，提高了系统的动态响应速度，解决了多采样率重复控制系统带来的问题。

对于交流微电网或弱电网等系统，其面临更复杂的工况，如电网频率波动、电压波动等，因此下一步将重点研究提高控制策略的鲁棒性。另外，本文的研究成果目前只应用于SAPF，为了促进所提策略的应用和推广，下一步将其应用于其他电力电子变换器，如三相并网逆变器、储能变流器等。

图1经典重复控制系统

Fig.1Conventional repetitive control system

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图2不同基波频率下CRCS内模的幅频特性

Fig.2Magnitude-frequency characteristics of CRCS′s internal model under different fundamental frequencies

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图3可调整采样周期的选择性重复控制系统

Fig.3Selective repetitive control system with adjustable sampling period

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图4多采样率重复控制系统的采样

Fig.4Sampling diagram of multi-rate repetitive control systems

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图5不同阶数下近似表达式的幅频特性

Fig.5Magnitude-frequency characteristics of approximate expression under different orders

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图6不同频率下近似表达式的幅频特性

Fig.6Magnitude-frequency characteristics of approximate expression under different frequencies

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图7具有变频适应性和统一采样频率的选择性重复控制系统

Fig.7Frequency-adaptive uniform-rate selective repetitive control system

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图8用于收敛性分析的FUSRCS

Fig.8FUSRCS for convergence analysis

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图9SAPF系统的结构

Fig.9Schematic diagram of SAPF

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图10基于FUSRCS的SAPF的控制系统

Fig.10Control system of SAPF based on FUSRCS

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图11基于FUSRCS的d轴补偿电流复合重复控制

Fig.11Compound repetitive control of d-axis compensation current based on FUSRCS

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图12三相SAPF系统的实验平台

Fig.12Experimental platform of three-phase SAPF system

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图13原始反馈控制系统的根轨迹图

Fig.13Root locus of the original feedback control system

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图14f_r=48 Hz时基于FUSRCS和CRCS的补偿电流跟踪波形和跟踪误差

Fig.14Waveforms of compensation current tracking and tracking errors based on FUSRCS and CRCS as f_r=48 Hz

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图15f_r=52 Hz时基于FUSRCS和CRCS的补偿电流跟踪波形和跟踪误差

Fig.15Waveforms of compensation current tracking and tracking errors based on FUSRCS and CRCS as f_r=52 Hz

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图16f_r=48 Hz时基于FUSRCS的V_sa和I_La的波形

Fig.16Waveforms of V_sa and I_L_a based on FUSRCS as f_r=48 Hz

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图17f_r=48 Hz时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.17Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on FUSRCS as f_r=48 Hz

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图18f_r=48 Hz时基于CRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.18Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on CRCS as f_r=48 Hz

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图19f_r=52 Hz时基于FUSRCS的V_sa和I_La的波形

Fig.19Waveforms of V_sa and I_La based on FUSRCS as f_r=52 Hz

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图20f_r=52 Hz时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.20Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on FUSRCS as f_r=52 Hz

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图21f_r=52 Hz时基于CRCS的V_sa、I_ca和I_sa的波形

Fig.21Waveforms of V_sa, I_ca and I_sa based on CRCS as f_r=52 Hz

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图22f_r上升时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和f_r波形

Fig.22Waveforms of V_sa, I_sa and f_r based on FUSRCS when f_r rises

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图23fr下降时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和f_r波形

Fig.23Waveforms of V_sa, I_sa and f_r based on FUSRCS when f_r drops

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图24R_L切换时基于FUSRCS的V_sa和I_sa波形

Fig.24Waveforms of V_sa and I_sa based on FUSRCS during R_L switching

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表1SAPF系统的主要参数

Tab.1Main parameters of SAPF

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表2f_r=48 Hz时不同控制系统I_sa的THD对比

Tab.2THDs of I_sa in different control system as f_r=48 Hz

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表3f_r=52 Hz时不同控制系统I_sa的THD对比

Tab.3THDs of I_sa in different control system as f_r=52 Hz

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表4电网频率变化时I_sa的THD对比

Tab.4THDs of I_sa when the grid frequency changes

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表5负载切换前后I_sa的THD对比

Tab.5THDs of I_sa during load switching

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图1经典重复控制系统

Fig.1Conventional repetitive control system

图2不同基波频率下CRCS内模的幅频特性

Fig.2Magnitude-frequency characteristics of CRCS′s internal model under different fundamental frequencies

图3可调整采样周期的选择性重复控制系统

Fig.3Selective repetitive control system with adjustable sampling period

图4多采样率重复控制系统的采样

Fig.4Sampling diagram of multi-rate repetitive control systems

图5不同阶数下近似表达式的幅频特性

Fig.5Magnitude-frequency characteristics of approximate expression under different orders

图6不同频率下近似表达式的幅频特性

Fig.6Magnitude-frequency characteristics of approximate expression under different frequencies

图7具有变频适应性和统一采样频率的选择性重复控制系统

Fig.7Frequency-adaptive uniform-rate selective repetitive control system

图8用于收敛性分析的FUSRCS

Fig.8FUSRCS for convergence analysis

图9SAPF系统的结构

Fig.9Schematic diagram of SAPF

图10基于FUSRCS的SAPF的控制系统

Fig.10Control system of SAPF based on FUSRCS

图11基于FUSRCS的d轴补偿电流复合重复控制

Fig.11Compound repetitive control of d-axis compensation current based on FUSRCS

图12三相SAPF系统的实验平台

Fig.12Experimental platform of three-phase SAPF system

图13原始反馈控制系统的根轨迹图

Fig.13Root locus of the original feedback control system

图14f_r=48 Hz时基于FUSRCS和CRCS的补偿电流跟踪波形和跟踪误差

Fig.14Waveforms of compensation current tracking and tracking errors based on FUSRCS and CRCS as f_r=48 Hz

图15f_r=52 Hz时基于FUSRCS和CRCS的补偿电流跟踪波形和跟踪误差

Fig.15Waveforms of compensation current tracking and tracking errors based on FUSRCS and CRCS as f_r=52 Hz

图16f_r=48 Hz时基于FUSRCS的V_sa和I_La的波形

Fig.16Waveforms of V_sa and I_L_a based on FUSRCS as f_r=48 Hz

图17f_r=48 Hz时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.17Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on FUSRCS as f_r=48 Hz

图18f_r=48 Hz时基于CRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.18Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on CRCS as f_r=48 Hz

图19f_r=52 Hz时基于FUSRCS的V_sa和I_La的波形

Fig.19Waveforms of V_sa and I_La based on FUSRCS as f_r=52 Hz

图20f_r=52 Hz时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.20Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on FUSRCS as f_r=52 Hz

图21f_r=52 Hz时基于CRCS的V_sa、I_ca和I_sa的波形

Fig.21Waveforms of V_sa, I_ca and I_sa based on CRCS as f_r=52 Hz

图22f_r上升时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和f_r波形

Fig.22Waveforms of V_sa, I_sa and f_r based on FUSRCS when f_r rises

图23fr下降时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和f_r波形

Fig.23Waveforms of V_sa, I_sa and f_r based on FUSRCS when f_r drops

图24R_L切换时基于FUSRCS的V_sa和I_sa波形

Fig.24Waveforms of V_sa and I_sa based on FUSRCS during R_L switching

表1SAPF系统的主要参数

Tab.1Main parameters of SAPF

表2f_r=48 Hz时不同控制系统I_sa的THD对比

Tab.2THDs of I_sa in different control system as f_r=48 Hz

表3f_r=52 Hz时不同控制系统I_sa的THD对比

Tab.3THDs of I_sa in different control system as f_r=52 Hz

表4电网频率变化时I_sa的THD对比

Tab.4THDs of I_sa when the grid frequency changes

表5负载切换前后I_sa的THD对比

Tab.5THDs of I_sa during load switching

图1经典重复控制系统

Fig.1Conventional repetitive control system

图2不同基波频率下CRCS内模的幅频特性

Fig.2Magnitude-frequency characteristics of CRCS′s internal model under different fundamental frequencies

图3可调整采样周期的选择性重复控制系统

Fig.3Selective repetitive control system with adjustable sampling period

图4多采样率重复控制系统的采样

Fig.4Sampling diagram of multi-rate repetitive control systems

图5不同阶数下近似表达式的幅频特性

Fig.5Magnitude-frequency characteristics of approximate expression under different orders

图6不同频率下近似表达式的幅频特性

Fig.6Magnitude-frequency characteristics of approximate expression under different frequencies

图7具有变频适应性和统一采样频率的选择性重复控制系统

Fig.7Frequency-adaptive uniform-rate selective repetitive control system

图8用于收敛性分析的FUSRCS

Fig.8FUSRCS for convergence analysis

图9SAPF系统的结构

Fig.9Schematic diagram of SAPF

图10基于FUSRCS的SAPF的控制系统

Fig.10Control system of SAPF based on FUSRCS

图11基于FUSRCS的d轴补偿电流复合重复控制

Fig.11Compound repetitive control of d-axis compensation current based on FUSRCS

图12三相SAPF系统的实验平台

Fig.12Experimental platform of three-phase SAPF system

图13原始反馈控制系统的根轨迹图

Fig.13Root locus of the original feedback control system

图14f_r=48 Hz时基于FUSRCS和CRCS的补偿电流跟踪波形和跟踪误差

Fig.14Waveforms of compensation current tracking and tracking errors based on FUSRCS and CRCS as f_r=48 Hz

图15f_r=52 Hz时基于FUSRCS和CRCS的补偿电流跟踪波形和跟踪误差

Fig.15Waveforms of compensation current tracking and tracking errors based on FUSRCS and CRCS as f_r=52 Hz

图16f_r=48 Hz时基于FUSRCS的V_sa和I_La的波形

Fig.16Waveforms of V_sa and I_L_a based on FUSRCS as f_r=48 Hz

图17f_r=48 Hz时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.17Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on FUSRCS as f_r=48 Hz

图18f_r=48 Hz时基于CRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.18Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on CRCS as f_r=48 Hz

图19f_r=52 Hz时基于FUSRCS的V_sa和I_La的波形

Fig.19Waveforms of V_sa and I_La based on FUSRCS as f_r=52 Hz

图20f_r=52 Hz时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和I_ca的波形

Fig.20Waveforms of V_sa, I_sa and I_ca based on FUSRCS as f_r=52 Hz

图21f_r=52 Hz时基于CRCS的V_sa、I_ca和I_sa的波形

Fig.21Waveforms of V_sa, I_ca and I_sa based on CRCS as f_r=52 Hz

图22f_r上升时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和f_r波形

Fig.22Waveforms of V_sa, I_sa and f_r based on FUSRCS when f_r rises

图23fr下降时基于FUSRCS的V_sa、I_sa和f_r波形

Fig.23Waveforms of V_sa, I_sa and f_r based on FUSRCS when f_r drops

图24R_L切换时基于FUSRCS的V_sa和I_sa波形

Fig.24Waveforms of V_sa and I_sa based on FUSRCS during R_L switching

表1SAPF系统的主要参数

Tab.1Main parameters of SAPF

表2f_r=48 Hz时不同控制系统I_sa的THD对比

Tab.2THDs of I_sa in different control system as f_r=48 Hz

表3f_r=52 Hz时不同控制系统I_sa的THD对比

Tab.3THDs of I_sa in different control system as f_r=52 Hz

表4电网频率变化时I_sa的THD对比

Tab.4THDs of I_sa when the grid frequency changes

表5负载切换前后I_sa的THD对比

Tab.5THDs of I_sa during load switching

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Publication Statement

Journal Subscription

1 参考信号频率变化对经典重复控制的影响

2 具有变频适应性和统一采样频率的选择性重复控制策略

3 基于FUSRCS的SAPF的控制

4 仿真和实验结果

5 结论